Таблица степеней от 2 до 10

Что такое степень числа

Степень с натуральным показателем — это произведение n одинаковых множителей:

aⁿ = a·a·…·a (n множителей), n — натуральное число

• a — основание степени, число, которое умножают;
• n — показатель степени, число множителей;
• aⁿ — степень.

Например, 2³ = 2·2·2 = 8, а 10² = 10·10 = 100. Запись 2³ читают «два в третьей степени». «В квадрате» и «в кубе» говорят только про показатели 2 и 3: «пять в квадрате», «два в кубе». Для остальных показателей называют номер: «в четвёртой степени».

Два правила задают крайние случаи: a¹ = a и 1ⁿ = 1 при любом n. Единица в любой степени остаётся единицей, поэтому строки для основания 1 в таблице нет.

Таблица степеней чисел от 2 до 10

Полная таблица охватывает основания от 2 до 10 и показатели от 1 до 10. Для начала — две самые нужные строки:

a	a¹	a²	a³	a⁴	a⁵	a⁶	a⁷	a⁸	a⁹	a¹⁰
2	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
3	3	9	27	81	243	729	2187	6561	19 683	59 049

Полная таблица: строка — основание, столбец — показатель.

Опорные значения, от которых удобно отталкиваться: 2¹⁰ = 1024, 3⁵ = 243, 5⁴ = 625, 7³ = 343, 9³ = 729, 10⁶ = 1 000 000. Числа растут быстро: максимум таблицы — 10¹⁰ = 10 000 000 000 (11 цифр), среди остальных оснований больше всех 9¹⁰ = 3 486 784 401 (10 цифр).

По программе натуральный показатель проходят в 7 классе, целый показатель и стандартный вид числа — в 8 классе, рациональный показатель — в 10 классе.

Степени двойки до 2²⁰

Степени двойки стоит знать наизусть хотя бы до 2¹⁰: из них выводятся строки для 4 и 8, и на них построено кодирование в информатике.

n	2ⁿ	n	2ⁿ
1	2	11	2048
2	4	12	4096
3	8	13	8192
4	16	14	16 384
5	32	15	32 768
6	64	16	65 536
7	128	17	131 072
8	256	18	262 144
9	512	19	524 288
10	1024	20	1 048 576

Опорные точки: 2⁸ = 256, 2¹⁰ = 1024, 2¹⁶ = 65 536, 2²⁰ = 1 048 576. В информатике i бит кодируют 2ⁱ значений. Например, байт — это 8 бит, он кодирует 2⁸ = 256 значений.

Приставки единиц измерения построены на степенях десяти:

• кило — 10³;
• мега — 10⁶;
• гига — 10⁹;
• милли — 10⁻³;
• микро — 10⁻⁶.

Как пользоваться таблицей степеней

Прямая задача: найдите строку с основанием и столбец с показателем, ответ стоит на пересечении. Нужно 7³: строка 7, столбец 3, значение 343.

Обратная задача: по значению найти степень. Ищите число в клетках таблицы: 243 = 3⁵, 81 = 3⁴, 125 = 5³. Одно число может встретиться в нескольких клетках: 729 = 3⁶ = 9³, 64 = 2⁶ = 4³ = 8², 256 = 2⁸ = 4⁴, 1024 = 2¹⁰ = 4⁵, 4096 = 2¹² = 4⁶ = 8⁴.

Проверить ответ можно двумя способами:

• калькулятором: 3, затем x^y, затем 5 — получится 243;
• оценкой: 2¹⁰ ≈ 10³, поэтому 2²⁰ ≈ 10⁶, а точно — 1 048 576.

Свойства степеней

Пять свойств избавляют от зубрёжки: значения таблицы выводятся из них.

Формула	Пример
aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ	2³·2⁴ = 2⁷ = 128
aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, a ≠ 0	3⁵ : 3² = 3³ = 27
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ	(2³)² = 2⁶ = 64
(ab)ⁿ = aⁿ·bⁿ	(2·5)³ = 8·125 = 1000
(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ, b ≠ 0	(6/3)⁴ = 1296/81 = 16

При одинаковых основаниях показатели при умножении складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются. Подробный разбор с доказательствами — в статье «Свойства степеней».

Особые случаи: нулевая, отрицательная и дробная степень

Нулевая степень

a⁰ = 1 при a ≠ 0. Откуда это берётся: 7³ : 7³ = 7³⁻³ = 7⁰, а число, делённое само на себя, равно единице. Отсюда и запрет на a = 0: на ноль делить нельзя, поэтому 0⁰ в школьном курсе не определено. Знак основания роли не играет: (−3)⁰ = 1.

Отрицательная степень

a⁻ⁿ = 1/aⁿ, a ≠ 0. Например, 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0,125. На этом правиле построен стандартный вид числа: 3·10⁻⁴ = 0,0003.

Дробная степень

Дробный показатель означает корень: a^(1/2) = √a, в общем виде a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ). Считать удобнее так: сначала корень, потом степень. 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4, 27^(2/3) = (∛27)² = 3² = 9.

Отрицательное основание

Чётная степень отрицательного числа положительна, нечётная — отрицательна: (−2)⁴ = 16, но (−2)³ = −8. Дробную степень отрицательного основания в школьном курсе не рассматривают: (−4)^(1/2) не вычисляют.

Как быстро считать степени без калькулятора

Большую часть таблицы можно вывести тремя приёмами.

1. Разложение основания: 4⁵ = (2²)⁵ = 2¹⁰ = 1024. Если вы знаете строку двойки, строки 4 и 8 у вас тоже есть: 4¹⁰ = 2²⁰ = 1 048 576, 8¹⁰ = 2³⁰ = 1 073 741 824.
2. Разбиение показателя: 3⁵ = 3²·3³ = 9·27 = 243. Другой вариант — пошаговое возведение в квадрат: 3⁴ = (3²)² = 81, 3⁸ = 81² = 6561.
3. Цикл последних цифр. Степени двойки оканчиваются на 2, 4, 8, 6 и дальше по кругу. 100 делится на 4, поэтому 2¹⁰⁰ оканчивается на 6. У пятёрки начиная с 5² = 25 все степени оканчиваются на 25. По последним цифрам удобно проверять ответ.

Частые ошибки (неправильно → правильно):

• 2³ = 6 → 2³ = 8: число умножают само на себя, а не на показатель;
• 2³·2² = 2⁶ → 2³·2² = 2⁵ = 32: показатели складывают, а не перемножают;
• −3² = 9 → −3² = −9: без скобок минус в степень не возводится, а (−3)² = 9;
• 2⁵ = 25 → 2⁵ = 32: 2⁵ и 5² — разные числа.

Степени на ОГЭ и ЕГЭ

На экзаменах степени встречаются в вычислениях без калькулятора: упростить выражение по свойствам, сравнить числа, записать величину в стандартном виде, решить показательное уравнение. Учить для этого всю таблицу не нужно. На самом деле всё проще: хватит строк двойки и тройки и пяти свойств, остальное выводится разложением за несколько секунд. Например, если в уравнении встретилось 4096, разложите его: 4096 = 2¹², и уравнение сводится к сравнению показателей. Отдельно проверьте, что уверенно различаете −a² и (−a)².

Частые вопросы

Чему равно 2¹⁰? 2¹⁰ = 1024. Через это значение удобно оценивать большие степени двойки: 1024 ≈ 10³.

Нужно ли учить таблицу степеней целиком? Нет. Достаточно строк для 2 и 3, квадратов и кубов малых чисел. Остальное выводится свойствами: 4⁵ = 2¹⁰, 9³ = 3⁶ = 729.

Чему равен ноль в нулевой степени? Выражение 0⁰ в школьном курсе не определено. Правило a⁰ = 1 действует только при a ≠ 0.

Что больше: 2⁵ или 5²? 2⁵ = 32 больше, чем 5² = 25. Основание и показатель менять местами нельзя.

Как посчитать число в дробной степени? По формуле a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ): сначала корень степени n, затем возведение в степень m. Например, 8^(2/3) = (∛8)² = 4.

Почему чётная степень отрицательного числа положительна? Минусы перемножаются парами: (−2)⁴ = (−2)·(−2)·(−2)·(−2) = 4·4 = 16. При нечётном показателе один множитель остаётся без пары, и знак минус сохраняется: (−2)³ = −8.