Таблица квадратных корней

Таблица квадратных корней от 1 до 100

Таблица корней построена по сетке «десятки × единицы». Десятки подкоренного числа стоят в левом столбце, единицы — в верхней строке, значение корня — на их пересечении. Цветом выделены точные значения, то есть корни из полных квадратов: √0 = 0, √1 = 1, √4 = 2, … √100 = 10. Остальные округлены до тысячных: √2 ≈ 1,414, √50 ≈ 7,071, √99 ≈ 9,950. Во второй таблице собраны точные корни из квадратов: √1 = 1, √4 = 2, … √10 000 = 100.

Как пользоваться таблицей квадратных корней

Допустим, вам нужен √47:

1. Найдите строку «4» — это десятки числа 47.
2. Найдите столбец «7» — это единицы.
3. На пересечении стоит ≈ 6,856.
4. Знак ≈ означает, что значение округлено до тысячных.
5. Проверьте квадратом: 6,856² = 47,004736 ≈ 47,005. Расхождение меньше 0,01, для школьных задач этого достаточно.

Одна и та же сетка «десятки × единицы» в разных справочниках хранит разное: в одних на пересечении стоит √n, в других n². Если в клетке строки «4» и столбца «7» вы видите 2209, перед вами таблица квадратов, а не корней.

Таблица Брадиса

Таблица Брадиса даёт четыре значащие цифры корня для чисел с тремя значащими цифрами. Четвёртую цифру подкоренного числа учитывают поправкой из последних столбцов. Например, для √2,345 берут значение для 2,34 и прибавляют поправку на 5 из столбца поправок. Получается ≈ 1,531. Сверка с точным значением: √2,345 = 1,5313…, совпадение до тысячных.

Корни из 2, 3, 5, 7 и 12: значения, которые стоит помнить

Эти значения постоянно встречаются в геометрии и тригонометрии. Если помнить их наизусть, на экзамене вы сэкономите время.

Значение	Где встречается	Как держать в памяти	Проверка квадратом
√2 ≈ 1,41421	диагональ квадрата со стороной 1	«год 1414 и ещё 2»	1,41421² ≈ 1,99999
√3 ≈ 1,73205	высота равностороннего треугольника со стороной 2; sin 60° = √3/2	«1732, хвост 05»	1,73205² ≈ 3,00000
√5 ≈ 2,23607	диагональ прямоугольника 1×2	«две двойки, 3-6-0-7»	2,23607² ≈ 5,00001
√7 ≈ 2,64575	катет треугольника с гипотенузой 4 и катетом 3: √(16 − 9) = √7	«в середине 64, как квадрат восьмёрки»	2,64575² ≈ 6,99999
√12 = 2√3 ≈ 3,46410	вынесение множителя: √12 = √(4·3)	удвоенный √3	3,46410² ≈ 11,99999

Помните √3? Тогда √12 отдельно учить не нужно, достаточно удвоить.

Что такое квадратный корень и почему почти все значения в таблице приближённые

Арифметический квадратный корень √a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a; корень определён при a ≥ 0.

Обозначения:

• a — подкоренное выражение, a ≥ 0;
• √ — знак арифметического корня.

Не путайте два понятия. Уравнение x² = 9 имеет два корня: x = ±3. Арифметический корень один: √9 = 3. Знак √ по определению даёт неотрицательное значение, а минус приписывают отдельно, когда решают уравнение.

Откуда приближённость? Корень из натурального числа либо целый, либо иррациональный, третьего не дано. Иррациональное число записывается бесконечной непериодической десятичной дробью, и точно уместить его в клетку таблицы нельзя. Среди чисел от 1 до 100 полных квадратов десять, остальные 90 корней иррациональны и округлены до тысячных.

Насколько точно такое округление? Возведите табличное значение в квадрат: результат отличается от подкоренного числа меньше чем на 0,01 (для n ≤ 100). Например, 9,950² = 99,0025, а подкоренное число равно 99.

Как извлечь корень, если числа нет в таблице

Таблица заканчивается на 100, задачи — нет. Есть четыре приёма.

1. Оценка соседними квадратами. Найдите два полных квадрата, между которыми лежит число. Для √150: 12² = 144 < 150 < 169 = 13², значит 12 < √150 < 13. Точнее: √150 ≈ 12,247. Если в задании спрашивают, между какими целыми числами лежит корень, такой оценки хватает.

2. Вынесение множителя. Если под корнем есть множитель — полный квадрат, вынесите его: √180 = √(36·5) = 6√5 ≈ 6·2,23607 ≈ 13,416. Так же √75 = 5√3 ≈ 8,66 и √300 = 10√3 ≈ 17,32.

3. Сдвиг запятой парами цифр. Сдвиг запятой под корнем на два знака сдвигает ответ на один: √0,25 = 0,5, √0,49 = 0,7, √4900 = 70, √250 000 = 500. В общем виде √(100a) = 10√a. Ловушка — сдвиг на один знак: √0,4 ≈ 0,632, а не 0,2. Ведь 0,2² = 0,04, и √0,04 = 0,2. Чтобы не ошибиться, цифры под корнем группируют парами.

4. Формула Герона. Итерационная формула xₙ₊₁ = (xₙ + a/xₙ) / 2 уточняет любое начальное приближение.

• xₙ — текущее приближение;
• xₙ₊₁ — следующее, более точное;
• a — подкоренное число.

Для √10 возьмём x₀ = 3:

• x₁ = (3 + 10/3) / 2 = (3 + 3,33333) / 2 ≈ 3,16667;
• x₂ = (3,16667 + 10/3,16667) / 2 = (3,16667 + 3,15789) / 2 ≈ 3,16228.

Точное значение √10 = 3,16228 (до пяти знаков) получено уже на втором шаге. Тем же приёмом можно уточнить грубую оценку. Для √30 из 5 < √30 < 6 берём 5,5 (5,5² = 30,25), и один шаг (5,5 + 30/5,5) / 2 даёт ≈ 5,477.

Свойства квадратных корней для упрощения вычислений

Свойства ниже верны при a ≥ 0 и b ≥ 0; свойство корня из квадрата — при любом a.

• Корень из произведения: √(ab) = √a·√b. Пример: √8·√2 = √16 = 4.
• Корень из частного: √(a/b) = √a/√b при b > 0.
• Корень из квадрата: √(a²) = |a| — модуль, а не само a. При a = −5: √((−5)²) = √25 = 5 = |−5|.
• Квадрат корня: (√a)² = a.
• Вынесение и внесение множителя: √75 = 5√3; в обратную сторону 3√2 = √(9·2) = √18.

Внесение множителя помогает сравнивать. Нужно сравнить 2√7 и 3√3? Внесите множители под корень: 2√7 = √28, 3√3 = √27. Раз 28 > 27, то 2√7 > 3√3 — без единого приближённого вычисления.

Таблица кубических корней от 1 до 100

Кубический корень ∛a — число, куб которого равен a. Точные значения в диапазоне от 1 до 100 есть у четырёх чисел:

n	1	8	27	64
∛n	1	2	3	4

Опорные приближённые значения: ∛2 ≈ 1,25992, ∛3 ≈ 1,44225, ∛10 ≈ 2,15443, ∛100 ≈ 4,64159.

Цифры для кубического корня группируют тройками, а не парами: ∛(1000a) = 10∛a. Например, ∛2000 = 10·∛2 ≈ 12,599.

В отличие от квадратного, кубический корень существует и из отрицательных чисел: ∛(−27) = −3, потому что (−3)³ = −27. А √(−27) в действительных числах не существует.

Квадратные корни на ОГЭ и ЕГЭ: типовые задания и тренировка

На ЕГЭ калькулятора нет, поэтому вычисления с корнями выполняют через свойства и оценки. Типовые ситуации:

Формула разности квадратов. (√13 − 3)(√13 + 3) = (√13)² − 3² = 13 − 9 = 4. Выражение с иррациональными множителями сворачивается в целое число.

Оценка положения корня. Между какими целыми числами лежит √38? Поскольку 36 < 38 < 49, получаем 6 < √38 < 7; точнее √38 ≈ 6,164.

Сравнение выражений. Работает внесение множителя под корень из раздела о свойствах.

Тренируясь, возводите каждое найденное значение в квадрат и сверяйте с подкоренным числом — вычислительная ошибка обнаружится сразу.

Частые ошибки

• √(a + b) = √a + √b → неверно: корень суммы не равен сумме корней. √(9 + 16) = √25 = 5, а не 3 + 4 = 7.
• √(x²) = x → неверно: правильно √(x²) = |x|, иначе при отрицательном x арифметический корень окажется отрицательным.
• √0,4 = 0,2 → неверно: 0,2² = 0,04, поэтому √0,04 = 0,2, а √0,4 ≈ 0,632.
• √(−4) = −2 → неверно: в действительных числах √(−4) не существует, квадрат любого действительного числа неотрицателен.
• √64 = 16 → неверно: √64 = 8, ведь 8² = 64. Проверка квадратом занимает секунды.

На самом деле всё проще: таблица нужна для опорных значений, а остальное выводится из них за минуту.

Вопросы и ответы

Чему равен корень из нуля? √0 = 0. Нуль — единственное число, у которого ровно один квадратный корень.

Почему у положительного числа два квадратных корня, а таблица даёт один? Уравнение x² = a при a > 0 имеет два решения: ±√a. В таблице записан арифметический корень, то есть неотрицательное из этих двух значений.

Существует ли корень из отрицательного числа? В действительных числах квадратного корня из отрицательного числа нет: квадрат действительного числа не бывает отрицательным. Кубический существует: ∛(−27) = −3.

Насколько точны значения в таблице? При округлении до тысячных квадрат табличного значения отличается от подкоренного числа меньше чем на 0,01 при n ≤ 100. Например, 9,950² = 99,0025 при точном 99.

Как извлечь корень в Excel? Формулой =КОРЕНЬ(A1) или =A1^(1/2), результат одинаковый.

Что делать, если числа нет в таблице? Вынести множитель (√180 = 6√5), сдвинуть запятую парами (√4900 = 70), оценить соседними квадратами (12 < √150 < 13) или уточнить формулой Герона.