Таблица интегралов (первообразных)

Таблица основных интегралов (первообразных)

Это базовая таблица неопределённых интегралов. Расширенные формулы собраны в разделах ниже. Постоянная + C стоит в каждой строке: без неё ответ неполный.

Интеграл	Условие (ОДЗ)
∫dx = x + C	—
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C	n ≠ −1
`∫dx/x = ln	x	+ C`	x ≠ 0
∫eˣ dx = eˣ + C	—
∫aˣ dx = aˣ/ln a + C	a > 0, a ≠ 1
∫sin x dx = −cos x + C	—
∫cos x dx = sin x + C	—
∫dx/cos²x = tg x + C	x ≠ π/2 + πk
∫dx/sin²x = −ctg x + C	x ≠ πk
∫dx/(1 + x²) = arctg x + C	—
∫dx/√(1 − x²) = arcsin x + C	`	x	< 1`
∫dx/(x² + a²) = (1/a)·arctg(x/a) + C	a ≠ 0
`∫dx/(x² − a²) = (1/(2a))·ln	(x − a)/(x + a)	+ C` («высокий логарифм»)	a ≠ 0, x ≠ ±a
`∫dx/√(x² ± a²) = ln	x + √(x² ± a²)	+ C` («длинный логарифм»)	для минуса `	x	>	a	`
∫dx/√(a² − x²) = arcsin(x/a) + C	`a > 0,	x	< a`

Обозначения:

• x — переменная интегрирования;
• C — произвольная постоянная;
• a, n — параметры (числа) с ограничениями из второго столбца;
• k — целое число в условиях для тангенса и котангенса.

Любую строку можно проверить: продифференцируйте правую часть, и должна получиться подынтегральная функция. Например, (tg x)′ = 1/cos²x — это строка для ∫dx/cos²x.

Таблица первообразных для 11 класса и ЕГЭ

Школьная таблица короче: в ней пары «функция — первообразная» без модулей и обратных тригонометрических функций.

Функция f(x)	Первообразная F(x)
k (константа)	kx + C
xⁿ, n ≠ −1	xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
1/x, x > 0	ln x + C
1/√x, x > 0	2√x + C
eˣ	eˣ + C
aˣ, a > 0, a ≠ 1	aˣ/ln a + C
sin x	−cos x + C
cos x	sin x + C
1/cos²x	tg x + C
1/sin²x	−ctg x + C

Обозначения:

• k — число;
• n — показатель степени, n ≠ −1;
• a — основание степени, a > 0, a ≠ 1;
• C — произвольная постоянная.

К таблице добавляется правило линейного аргумента: если F — первообразная для f, то

∫f(kx + b) dx = (1/k)·F(kx + b) + C, где k ≠ 0.

Пример: ∫cos 2x dx = ½·sin 2x + C. Проверка: (½·sin 2x)′ = ½·2·cos 2x = cos 2x. Множитель ½ теряют чаще всего.

Конкретную первообразную находят по её значению в точке. Пусть f(x) = 2x и F(1) = 5. Общий вид F(x) = x² + C, подставляем x = 1: 1 + C = 5, значит C = 4 и F(x) = x² + 4.

Первообразная и формула Ньютона — Лейбница входят в программу профильного ЕГЭ, и эту короткую таблицу надёжнее знать наизусть.

Первообразная, неопределённый и определённый интеграл: в чём разница

Понятие	Что это	Результат
Первообразная	Функция F(x), для которой F′(x) = f(x)	одна функция
Неопределённый интеграл	∫f(x) dx = F(x) + C, все первообразные сразу	семейство функций
Определённый интеграл	∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)	число

Первообразная у функции не одна. Производная константы равна нулю, поэтому x², x² + 4 и x² − 7 — первообразные одной функции 2x: (x²)′ = 2x. Запись + C охватывает их все.

Определённый интеграл считают по формуле Ньютона — Лейбница: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Постоянная C при вычитании сокращается. Если f(x) ≥ 0 на отрезке [a; b], интеграл равен площади криволинейной трапеции под графиком. Например, площадь под параболой y = x² на отрезке [0; 3] равна 3³/3 − 0³/3 = 9 кв. ед. Если функция на отрезке отрицательна, интеграл тоже отрицателен и равен площади со знаком минус.

Основные правила интегрирования

Линейность:

1. ∫k·f(x) dx = k·∫f(x) dx — константа выносится за знак интеграла;
2. ∫(f(x) ± g(x)) dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx — интеграл суммы равен сумме интегралов.

Разбор примера на линейность — в последнем разделе (пример 1).

В вузе к линейности добавляются методы:

• Замена переменной. ∫2x·cos(x²) dx = sin(x²) + C, замена t = x². Проверка: (sin(x²))′ = 2x·cos(x²).
• Внесение под знак дифференциала. ∫x·e^(x²) dx = ½·e^(x²) + C. Проверка: (½·e^(x²))′ = x·e^(x²).
• Интегрирование по частям. ∫u dv = uv − ∫v du. Пример: ∫x·cos x dx = x·sin x + cos x + C. Проверка: (x·sin x + cos x)′ = sin x + x·cos x − sin x = x·cos x.
• Формула Ньютона — Лейбница. ∫₀^π sin x dx = −cos π − (−cos 0) = 1 + 1 = 2.

Интегралы от рациональных функций

Интеграл	Условие
∫(ax + b)ⁿ dx = (ax + b)ⁿ⁺¹/(a·(n + 1)) + C	a ≠ 0, n ≠ −1
`∫dx/(ax + b) = (1/a)·ln	ax + b	+ C`	a ≠ 0
∫dx/(x² + a²) = (1/a)·arctg(x/a) + C	a ≠ 0
`∫dx/(x² − a²) = (1/(2a))·ln	(x − a)/(x + a)	+ C`	a ≠ 0, x ≠ ±a
∫x dx/(x² + a²) = ½·ln(x² + a²) + C	a ≠ 0
`∫x dx/(x² − a²) = ½·ln	x² − a²	+ C`	x ≠ ±a

Для ∫dx/(ax² + bx + c), a ≠ 0, результат зависит от знака дискриминанта D = b² − 4ac:

• D < 0: (2/√(−D))·arctg((2ax + b)/√(−D)) + C;
• D > 0: (1/√D)·ln|(2ax + b − √D)/(2ax + b + √D)| + C;
• D = 0: −2/(2ax + b) + C.

Если знаменатель стоит в степени, работает рекуррентная формула: при Iₙ = ∫dx/(x² + a²)ⁿ

Iₙ₊₁ = x/(2n·a²·(x² + a²)ⁿ) + ((2n − 1)/(2n·a²))·Iₙ.

Произвольную рациональную дробь интегрируют методом простейших дробей. Знаменатель раскладывают на множители, а дробь — в сумму дробей вида A/(x − p)ⁿ и (Mx + N)/(x² + px + q)ⁿ, каждая из которых берётся по таблице. Например, 1/(x² − 1) раскладывается на A/(x − 1) и B/(x + 1).

Интегралы от иррациональных функций

Корень из a² − x²

Интеграл	Условие
∫dx/√(a² − x²) = arcsin(x/a) + C	`a > 0,	x	< a`
∫√(a² − x²) dx = (x/2)·√(a² − x²) + (a²/2)·arcsin(x/a) + C	`a > 0,	x	≤ a`

Корень из x² ± a²

Интеграл	Условие
`∫dx/√(x² ± a²) = ln	x + √(x² ± a²)	+ C` («длинный логарифм»)	для минуса `	x	>	a	`
`∫√(x² ± a²) dx = (x/2)·√(x² ± a²) ± (a²/2)·ln	x + √(x² ± a²)	+ C`	для минуса `	x	≥	a	`

Корень из ax + b

Интеграл	Условие
∫√(ax + b) dx = (2/(3a))·(ax + b)·√(ax + b) + C	a ≠ 0, ax + b ≥ 0
∫dx/√(ax + b) = (2/a)·√(ax + b) + C	a ≠ 0, ax + b > 0

У «длинного логарифма» нет прямого аналога в школьной таблице производных. Эти формулы выводят заменой переменной, а проверяют дифференцированием. Например, производная ln|x + √(x² + a²)| после упрощения даёт 1/√(x² + a²).

Интегралы от тригонометрических и обратных тригонометрических функций

Интеграл	Условие
`∫tg x dx = −ln	cos x	+ C`	x ≠ π/2 + πk
`∫ctg x dx = ln	sin x	+ C`	x ≠ πk
`∫dx/sin x = ln	tg(x/2)	+ C`	x ≠ πk
`∫dx/cos x = ln	tg(x/2 + π/4)	+ C`	x ≠ π/2 + πk
∫sin²x dx = x/2 − (sin 2x)/4 + C	—
∫cos²x dx = x/2 + (sin 2x)/4 + C	—
∫arcsin x dx = x·arcsin x + √(1 − x²) + C	`	x	≤ 1`
∫arctg x dx = x·arctg x − ½·ln(1 + x²) + C	—

Квадраты синуса и косинуса интегрируют через формулы понижения степени: sin²x = (1 − cos 2x)/2, cos²x = (1 + cos 2x)/2. Например, в ∫sin²x dx замените подынтегральную функцию на (1 − cos 2x)/2 и интегрируйте по слагаемым.

Интегралы от показательных, логарифмических и гиперболических функций

Интеграл	Условие
∫eˣ dx = eˣ + C	—
∫aˣ dx = aˣ/ln a + C	a > 0, a ≠ 1
∫x·eˣ dx = (x − 1)·eˣ + C (по частям)	—
∫ln x dx = x·ln x − x + C	x > 0
∫sh x dx = ch x + C	—
∫ch x dx = sh x + C	—
∫dx/ch²x = th x + C	—
∫dx/sh²x = −cth x + C	x ≠ 0

Не всякий интеграл выражается через элементарные функции. По теореме Лиувилля первообразная элементарной функции не обязана быть элементарной. Например, ∫e^(−x²) dx записывается через специальную функцию erf, а ∫(sin x/x) dx — через интегральный синус Si. Если такой интеграл встретился в задаче, ошибки в вычислениях нет: он действительно «не берётся».

Как пользоваться таблицей интегралов: примеры и частые вопросы

Порядок действий: разбейте функцию на слагаемые, вынесите числовые множители, возьмите каждое слагаемое по таблице и проверьте ответ дифференцированием.

Пример 1. ∫(3x² + 2x) dx = 3·x³/3 + 2·x²/2 + C = x³ + x² + C. Проверка: (x³ + x²)′ = 3x² + 2x, сходится.

Пример 2. ∫₀² x² dx = 2³/3 − 0³/3 = 8/3 ≈ 2,67 (округление до сотых).

Пример 3. ∫₁^e dx/x = ln e − ln 1 = 1 − 0 = 1. Здесь e ≈ 2,72 — основание натурального логарифма.

Частые ошибки:

• Забыли константу: ∫x dx = x²/2 → правильно x²/2 + C.
• Подставили n = −1 в степенную формулу: ∫dx/x = x⁰/0 → правильно ∫dx/x = ln|x| + C. На нуль делить нельзя.
• Перепутали знак: ∫sin x dx = cos x + C → правильно −cos x + C. В ∫cos x dx = sin x + C минуса нет.
• Потеряли 1/k: ∫sin 3x dx = −cos 3x + C → правильно −⅓·cos 3x + C.

Частые вопросы

Почему в степенной формуле нельзя n = −1? При n = −1 в знаменателе получается n + 1 = 0. Этот случай вынесен в отдельную строку: ∫dx/x = ln|x| + C.

Как запомнить знаки у синуса и косинуса? Через производные: (−cos x)′ = sin x, поэтому минус достаётся первообразной синуса. Первообразная косинуса — синус, без минуса.

Куда девается C в определённом интеграле? Сокращается: (F(b) + C) − (F(a) + C) = F(b) − F(a).

Что делать, если функции нет в таблице? Свести её к табличной: разложить на слагаемые, сделать замену переменной, проинтегрировать по частям или разложить на простейшие дроби.

Определённый интеграл — это всегда площадь? Нет. Площади он равен при f(x) ≥ 0 на отрезке. Если функция отрицательна, интеграл отрицателен.

Как проверить, что интеграл взят верно? Продифференцируйте ответ: должна получиться подынтегральная функция. Это быстрее, чем пересчитывать интеграл заново.