Таблица производных элементарных функций

Что такое производная и зачем нужна таблица производных

Производная функции в точке — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

f′(x) = lim (Δy/Δx) при Δx → 0

• Δx — приращение аргумента;
• Δy = f(x + Δx) − f(x) — приращение функции;
• f′(x) — производная функции f в точке x.

Геометрический смысл: производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке: f′(x₀) = k = tg α. Например, прямая y = x наклонена к оси абсцисс под углом 45°, и её производная в любой точке равна tg 45° = 1. Для f(x) = x³ производная равна f′(x) = 3x², и в точке x = 2 угловой коэффициент касательной f′(2) = 3·2² = 12.

Физический смысл: производная координаты по времени — это скорость. Пусть тело движется по закону x(t) = 5t² (м). Тогда v(t) = 10t, и при t = 3 с скорость v = 30 м/с. При гармонических колебаниях координата меняется по закону x = A·sin ωt, а скорость — по закону v = A·ω·cos ωt: при дифференцировании синус переходит в косинус.

Знак производной определяет поведение функции:

Знак f′ на промежутке	Поведение f
f′ > 0	функция возрастает
f′ < 0	функция убывает
f′ = 0, знак меняется с «+» на «−»	точка максимума
f′ = 0, знак меняется с «−» на «+»	точка минимума

Условие f′(x₀) = 0 необходимое, но не достаточное для экстремума. Контрпример: у y = x³ в точке 0 производная равна нулю, но экстремума нет — функция возрастает и слева, и справа от нуля.

Вычислять предел для каждой функции заново долго. Таблица избавляет от этой работы: пределы вычислены один раз, вам остаётся применить готовый результат.

Таблица производных основных элементарных функций

Ниже — таблица производных с примерами. Производные элементарных функций сгруппированы по типам, в третьей колонке указано условие, при котором формула верна. Ошибки с корнями и логарифмами появляются там, где формулу применили вне этого условия.

Степенные функции и корни

Функция	Производная	Условие
C (константа)	C′ = 0	любое x
xⁿ	(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹	n натуральное — любое x; n целое, n ≤ 0 — x ≠ 0; n любое действительное — x > 0
√x	(√x)′ = 1/(2√x)	x > 0
1/x	(1/x)′ = −1/x²	x ≠ 0

Две нижние строки — частные случаи степенной формулы: √x = x^½, 1/x = x⁻¹. Пример: (x⁵)′ = 5x⁴.

Показательные и логарифмические функции

Функция	Производная	Условие
eˣ	(eˣ)′ = eˣ	любое x
aˣ	(aˣ)′ = aˣ·ln a	a > 0, a ≠ 1
ln x	(ln x)′ = 1/x	x > 0
logₐ x	(logₐ x)′ = 1/(x·ln a)	x > 0, a > 0, a ≠ 1

Экспонента — частный случай aˣ: так как ln e = 1, множитель исчезает и (eˣ)′ = eˣ. Производная логарифма 1/x убывает с ростом x, поэтому логарифм растёт всё медленнее. Примеры: (4ˣ)′ = 4ˣ·ln 4, (7·ln x)′ = 7/x.

Тригонометрические функции

Функция	Производная	Условие
sin x	(sin x)′ = cos x	любое x
cos x	(cos x)′ = −sin x	любое x
tg x	(tg x)′ = 1/cos²x	cos x ≠ 0
ctg x	(ctg x)′ = −1/sin²x	sin x ≠ 0

Формулы для tg x и ctg x можно не заучивать: они выводятся из частного sin x / cos x по правилу дифференцирования дроби. Пример: (3·cos x)′ = −3·sin x.

Обратные тригонометрические функции

Функция	Производная	Условие
arcsin x	(arcsin x)′ = 1/√(1 − x²)	−1 < x < 1
arccos x	(arccos x)′ = −1/√(1 − x²)	−1 < x < 1
arctg x	(arctg x)′ = 1/(1 + x²)	любое x
arcctg x	(arcctg x)′ = −1/(1 + x²)	любое x

Пример: (arctg x)′ в точке x = 1 равно 1/(1 + 1) = ½.

Производные гиперболических функций

Этот блок — за пределами школьной программы, он нужен студентам. Гиперболические синус и косинус определяют через экспоненту: sh x = (eˣ − e⁻ˣ)/2, ch x = (eˣ + e⁻ˣ)/2.

Функция	Производная
sh x	(sh x)′ = ch x
ch x	(ch x)′ = sh x
th x	(th x)′ = 1/ch²x
cth x	(cth x)′ = −1/sh²x (sh x ≠ 0)

Пример: (sh x)′ в точке x = 0 равно ch 0 = 1.

Правила дифференцирования

По этим пяти правилам из табличных производных собирают производные любых комбинаций:

Правило	Формула	Пример
Сумма и разность	(u ± v)′ = u′ ± v′	(3x² − 4x + 7)′ = 6x − 4
Константа-множитель	(C·u)′ = C·u′	(−5·eˣ)′ = −5·eˣ
Произведение	(uv)′ = u′v + uv′	(x²·sin x)′ = 2x·sin x + x²·cos x
Частное	(u/v)′ = (u′v − uv′)/v², v ≠ 0	(sin x / cos x)′ = 1/cos²x
Сложная функция	(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)	(e^(3x))′ = 3·e^(3x)

Цепное правило: производная сложной функции

Главная ловушка — последняя строка. Сложная функция — это «функция от функции». Например, у ln(x² + 1) внешняя функция — логарифм, внутренняя — x² + 1. Сначала дифференцируют внешнюю функцию по её аргументу, затем умножают на производную внутренней:

(ln(x² + 1))′ = 1/(x² + 1) · (x² + 1)′ = 2x/(x² + 1)

Как выбрать правило, если функция громоздкая? Посмотрите, какое действие вы выполнили бы последним, вычисляя значение функции в точке. Умножение — правило произведения. Деление — правило частного. Применение функции к выражению — цепное правило.

Как пользоваться таблицей производных: пошаговый алгоритм

1. Определите тип функции: степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая или комбинация нескольких.
2. Найдите строку таблицы или правило для внешней конструкции.
3. Подставьте выражение в формулу. Если аргумент — не x, а выражение, умножьте на внутреннюю производную.
4. Проверьте область определения: результат имеет смысл только там, где определены и функция, и её производная.

Если функции нет в таблице в явном виде, приведите её к табличной. Корни перепишите в степени: например, ∛x = x^⅓, отсюда (∛x)′ = ⅓·x^(−⅔). Дроби переведите в отрицательные степени: 1/x² = x⁻² и (1/x²)′ = −2x⁻³. Логарифм с произвольным основанием сводится к натуральному: logₐ x = ln x / ln a.

Примеры вычисления производных: от простого к сложному

Попробуйте сначала решить каждый пример сами, а потом сверьтесь с решением.

Пример 1. y = 3x⁴ − 2x + 5. Дифференцируем почленно: y′ = 3·4x³ − 2 + 0 = 12x³ − 2. Проверка в точке x = 1: 12 − 2 = 10. Использовано: правило суммы, (xⁿ)′, C′ = 0.

Пример 2. y = √x. По таблице y′ = 1/(2√x) при x > 0. В точке x = 4: 1/(2·2) = 0,25. Использовано: строка (√x)′.

Пример 3. y = x²·sin x. Правило произведения: y′ = (x²)′·sin x + x²·(sin x)′ = 2x·sin x + x²·cos x. Использовано: произведение, (xⁿ)′, (sin x)′.

Пример 4. y = eˣ/x. Правило частного: y′ = (eˣ·x − eˣ·1)/x² = eˣ·(x − 1)/x² при x ≠ 0. В точке x = 1 числитель равен нулю, y′(1) = 0, и знак производной меняется с «−» на «+». Это точка локального минимума; на промежутке (0; +∞) здесь наименьшее значение функции, но не на всей области определения: при x < 0 функция принимает отрицательные значения. Использовано: частное, (eˣ)′.

Пример 5. y = ln(cos 3x). Здесь три вложенные функции, идём снаружи внутрь: y′ = (1/cos 3x)·(−sin 3x)·3 = −3·tg 3x. Функция определена при cos 3x > 0. Использовано: цепное правило дважды, (ln x)′, (cos x)′.

Пример 6. y = arctg(x²). Цепное правило: y′ = 1/(1 + (x²)²) · 2x = 2x/(1 + x⁴). В точке x = 1: 2/(1 + 1) = 1. Использовано: (arctg x)′, цепное правило.

Пример 7. y = e^(sin²x). Внешняя функция — экспонента, внутренняя — sin²x, у которой своя внутренняя функция sin x: y′ = e^(sin²x)·2·sin x·cos x = sin 2x·e^(sin²x). Использовано: цепное правило дважды, формула синуса двойного угла.

Продвинутые методы дифференцирования

Логарифмическое дифференцирование

Функцию y = xˣ нельзя дифференцировать ни как степенную, ни как показательную: переменная стоит и в основании, и в показателе. Логарифмируем: ln y = x·ln x. Дифференцируем обе части: y′/y = ln x + 1. Получаем y′ = xˣ·(ln x + 1) при x > 0. Проверка в точке x = 1: 1¹·(0 + 1) = 1.

Производная неявной функции

Если y задан уравнением, а не формулой, дифференцируют уравнение целиком, считая y функцией от x. Например, для окружности x² + y² = R²: 2x + 2y·y′ = 0, откуда y′ = −x/y при y ≠ 0.

Производная параметрической функции

Если x = x(t) и y = y(t), то y′ₓ = y′ₜ / x′ₜ при условии x′ₜ ≠ 0. Для той же окружности в параметрическом виде x = cos t, y = sin t: y′ₓ = cos t / (−sin t) = −ctg t при sin t ≠ 0.

Производные высших порядков

Вторая производная — это производная от производной. Для синуса: (sin x)′ = cos x, (sin x)″ = −sin x. В физике вторая производная координаты по времени — ускорение.

Доказательства основных формул производных

Каждая строка таблицы получена из определения. Вот два коротких вывода.

Производная константы. Приращение постоянной функции равно нулю: Δy = C − C = 0. Предел отношения 0/Δx при Δx → 0 равен нулю, отсюда C′ = 0. Это не неопределённость «ноль на ноль»: в числителе стоит именно нуль, а не бесконечно малая величина.

Производная x². Δy = (x + Δx)² − x² = 2x·Δx + Δx². Делим на Δx и получаем 2x + Δx. При Δx → 0 остаётся 2x.

Остальные формулы удобнее выводить не из предела, а из уже доказанных строк и правил. Например, (aˣ)′ получается из представления aˣ = e^(x·ln a) по цепному правилу: (aˣ)′ = e^(x·ln a)·ln a = aˣ·ln a. Производную тангенса даёт правило частного: (sin x / cos x)′ = (cos²x + sin²x)/cos²x = 1/cos²x. В этом и смысл таблицы: около десяти опорных формул плюс пять правил, остальное выводится за пару строк.

Частые ошибки и способы проверки производной

Неправильно	Правильно	В чём ошибка
(eˣ)′ = x·eˣ⁻¹	(eˣ)′ = eˣ	степенную формулу применили к показательной функции
(cos x)′ = sin x	(cos x)′ = −sin x	потерян минус
(e^(3x))′ = e^(3x)	(e^(3x))′ = 3·e^(3x)	забыта производная внутренней функции
(uv)′ = u′·v′	(uv)′ = u′v + uv′	производная произведения не равна произведению производных
(u/v)′ = (uv′ − u′v)/v²	(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²	перепутан порядок в числителе

Первая строка — главная ловушка. В x³ переменная стоит в основании, это степенная функция: (x³)′ = 3x². В 3ˣ переменная в показателе, это показательная функция: (3ˣ)′ = 3ˣ·ln 3. Формулы разные.

Ответ можно проверить численно, без таблицы. Возьмите малое приращение h и вычислите (f(x + h) − f(x))/h. Например, для f(x) = x² в точке x = 3 при h = 0,001: (3,001² − 9)/0,001 = (9,006001 − 9)/0,001 = 6,001 ≈ 6. Точное значение f′(3) = 2·3 = 6, результаты сходятся. Если ваш ответ и численная оценка заметно расходятся, ищите ошибку в выкладках.

Частые вопросы о таблице производных

Сколько формул нужно знать наизусть? Около десяти опорных: константа, степень, eˣ, aˣ, ln x, синус, косинус, arcsin x, arctg x — плюс пять правил дифференцирования. Тангенс, котангенс, корень и 1/x выводятся из них за одну-две строки.

Откуда минус в производной косинуса? Из поведения графика. На промежутке от 0 до π косинус убывает, значит, его производная там отрицательна. Функция sin x на этом промежутке положительна, и без минуса формула противоречила бы графику.

Чем ln x отличается от lg x при дифференцировании? ln x — логарифм по основанию e, его производная 1/x. lg x — логарифм по основанию 10, для него работает общая формула: (lg x)′ = 1/(x·ln 10).

Будет ли таблица производных на ЕГЭ? Надёжнее знать формулы наизусть: на экзамене искать их некогда. В профильном ЕГЭ производная нужна как минимум в двух заданиях — на геометрический смысл производной и на наибольшее и наименьшее значение функции.

Что делать, если функции нет в таблице? Привести её к табличному виду: корни записать степенями (∛x = x^⅓), дроби — отрицательными степенями, логарифм с произвольным основанием — через ln x / ln a. Если функция составная, разложите её на внешнюю и внутреннюю и примените цепное правило.

Как проверить, что производная найдена верно? Численно. Выберите точку, вычислите (f(x + h) − f(x))/h при нескольких уменьшающихся h, например 0,01, 0,001 и 0,0001, и сравните со своим ответом в той же точке. Если с уменьшением h значения приближаются к вашему ответу, производная найдена верно.

Таблицу удобнее воспринимать не как двадцать разрозненных строк, а как десяток опорных формул и пять правил сборки. Выучите их, отработайте цепное правило на пяти-семи примерах с вложенными функциями, и производная школьного уровня сведётся к аккуратной подстановке.