Таблица квадратов от 1 до 100

Таблица квадратов натуральных чисел от 1 до 100

В таблице строка — это цифра десятков (0–9), столбец — цифра единиц (0–9).

Квадраты однозначных чисел: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81. Второй десяток:

Число	Квадрат
11	121
12	144
13	169
14	196
15	225
16	256
17	289
18	324
19	361
20	400

Опорные «круглые» квадраты: 10² = 100, 20² = 400, 50² = 2500, 100² = 10 000.

Совет: выучите квадраты чисел от 1 до 20 наизусть, как таблицу умножения, и добавьте к ним 25² = 625. Остальные значения выводятся приёмами из раздела про устный счёт.

Что такое квадрат числа и зачем нужна таблица квадратов

Квадрат числа — это произведение числа на само себя:

a² = a·a

• a — число;
• a² — его квадрат, читается «a в квадрате».

Например, 7² = 7·7 = 49.

Связь с геометрией такая:

S = a²

• S — площадь квадрата;
• a — его сторона.

При a = 6 см получаем S = 36 см².

Таблица нужна везде, где считают без калькулятора: формулы сокращённого умножения в 7 классе, квадратные корни в 8 классе, теорема Пифагора a² + b² = c², дискриминант, экзамены. В физике квадрат стоит в формуле кинетической энергии E = m·v²/2.

Как устроена таблица квадратов и как ей пользоваться

Сетка устроена так же, как в справочных таблицах школьных учебников:

1. Найдите цифру десятков в левом столбце — это строка.
2. Найдите цифру единиц в верхней строке — это столбец.
3. На пересечении стоит квадрат числа.

Пример: 47². Строка 4, столбец 7, в ячейке 2209. Проверим приёмом «около 50»: 47² = 2500 − 300 + 9 = 2209. Сходится.

Квадраты однозначных чисел стоят в строке 0. Число 100 трёхзначное и в сетку «десятки × единицы» не помещается, поэтому 100² = 10 000 вынесено в примечание под таблицей. Сетка компактнее списка «1² = 1, 2² = 4…» и работает в обе стороны: по ней ищут и квадрат, и корень.

Как извлечь квадратный корень по таблице квадратов

Обратная задача решается той же таблицей. Найдите число внутри сетки и соберите ответ из номера строки и номера столбца. Например, 1764 стоит в строке 4, столбце 2, отсюда √1764 = 42. Так же находим √2116 = 46.

Если число лежит в пределах от 1 до 10 000, а среди значений таблицы его нет, целого корня у него нет. За пределами этого диапазона отсутствие в таблице ничего не доказывает. Оценку таблица всё равно даёт. Возьмём √2000: 44² = 1936 < 2000 < 2025 = 45², поэтому 44 < √2000 < 45. С точностью до десятых √2000 ≈ 44,7.

Для десятичных оценок есть таблица квадратов чисел от 1,00 до 9,99. Например, 1,83² = 3,3489, отсюда √3,35 ≈ 1,83.

Как быстро возвести число в квадрат в уме

Квадрат числа, оканчивающегося на 5

(10a + 5)² = 100·a·(a + 1) + 25

• a — число десятков.

Умножьте число десятков на следующее за ним число и припишите справа 25. Для 35²: 3·4 = 12, приписываем 25, получаем 1225. Ещё примеры: 65² → 6·7 = 42 → 4225, 85² → 8·9 = 72 → 7225, 115² → 11·12 = 132 → 13 225.

Квадрат числа около 50

(50 + k)² = 2500 + 100k + k²

• k — отклонение числа от 50 (для чисел меньше 50 оно отрицательное).

Примеры: 53² = 2500 + 300 + 9 = 2809, 47² = 2500 − 300 + 9 = 2209.

Квадрат числа около 100

(100 − k)² = 100·(100 − 2k) + k², (100 + k)² = 10 000 + 200k + k²

• k — расстояние от числа до 100.

Примеры: 97² = 100·94 + 9 = 9409, 104² = 10 000 + 800 + 16 = 10 816.

Через круглое число

a² = (a − b)(a + b) + b²

• a — число, которое возводим в квадрат;
• b — расстояние до удобного круглого числа.

Пример: 48² = 46·50 + 4 = 2300 + 4 = 2304.

Соседний квадрат

(n + 1)² = n² + 2n + 1

• n — число, квадрат которого уже известен.

Пример: 51² = 2500 + 100 + 1 = 2601. Работает и обратное наблюдение: разность соседних квадратов равна 2n + 1, так что 21² − 20² = 41.

Квадрат суммы и разность квадратов

(a + b)² = a² + 2ab + b²

• a, b — слагаемые, на которые удобно разбить число.

Пример: 73² = 4900 + 420 + 9 = 5329.

a² − b² = (a − b)(a + b)

• a, b — числа, квадраты которых вычитаем.

Пример: 63² − 62² = 1·125 = 125. Формула работает и в обратную сторону, для умножения: 53·47 = (50 + 3)(50 − 3) = 2500 − 9 = 2491.

Частые ошибки

• Неправильно: 5² = 10 — путают n² и 2n. Правильно: 5² = 25.
• Неправильно: (a + b)² = a² + b². Правильно: (a + b)² = a² + 2ab + b². Удвоенное произведение теряют чаще всего.
• Неправильно: 35² → 3·3 = 9. Правильно: умножать на следующее число, 3·4 = 12 → 1225.
• Неправильно: −7² = 49. Правильно: −7² = −49, а (−7)² = 49. Без скобок степень выполняется раньше, чем знак минус.

Свойства квадратов: последняя цифра и признаки

Квадрат натурального числа оканчивается только на 0, 1, 4, 5, 6 или 9. Цифры 2, 3, 7 и 8 на конце точного квадрата не встречаются, поэтому √2023 заведомо не целый.

Признаки для проверки ответа:

• если число оканчивается на 5, его квадрат оканчивается на 25;
• если квадрат оканчивается на 6, цифра десятков у него нечётная (196, 256, 576), а если на 1, 4 или 9 — чётная (121, 144, 529); если квадрат оканчивается на 0, то он оканчивается на 00;
• при делении на 3 квадрат даёт остаток 0 или 1, при делении на 9 — 0, 1, 4 или 7 (остаток от деления на 9 удобно находить по сумме цифр);
• сумма первых n нечётных чисел равна n²: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4².

Если ваш «квадрат» нарушает хотя бы один признак, ищите ошибку в вычислении.

Таблица квадратов на ОГЭ и ЕГЭ

Тема начинается в 7 классе с формул сокращённого умножения, а в 8 классе на неё опирается глава «Квадратные корни».

На ОГЭ и ЕГЭ базового уровня таблица квадратов двузначных чисел обычно входит в справочные материалы: слева десятки, сверху единицы. Точный состав справочных материалов на текущий год публикует ФИПИ вместе с демоверсией — посмотрите его до экзамена.

Разумный минимум к экзамену: квадраты от 1 до 20, 25² = 625, круглые 30² = 900 и 50² = 2500, тройки Пифагора 3-4-5 и 5-12-13.

Проверь себя: задания на квадраты чисел

1. Найдите 67² по таблице.
2. Возведите 95² в уме приёмом «число на 5».
3. Вычислите √2916.
4. Может ли число 3137 быть точным квадратом?
5. Между какими целыми числами лежит √3000?

Ответы: 1) строка 6, столбец 7, в ячейке 4489; 2) 9·10 = 90 → 9025; 3) 54, потому что 54² = 2916; 4) нет, квадрат не оканчивается на 7; 5) 54² = 2916 < 3000 < 3025 = 55², корень лежит между 54 и 55.

На самом деле всё проще: наизусть нужны квадраты до 20, остальное восстанавливается через «число на 5», соседний квадрат и разность квадратов, а последняя цифра сразу отсеивает неверный ответ.

Вопросы и ответы

Нужно ли учить всю таблицу до 100 наизусть? Нет. Хватит квадратов от 1 до 20 и 25² = 625, остальное выводится за один-два шага.

Чему равен квадрат отрицательного числа? Положительному числу: (−7)² = 49.

Можно ли по таблице найти корень из числа больше 10 000? Нет: таблица заканчивается на 100² = 10 000. Для таких чисел нужны приёмы устного счёта или признаки квадратов.

Почему квадрат не может оканчиваться на 2, 3, 7 или 8? Последняя цифра квадрата зависит только от последней цифры числа. Квадраты цифр от 0 до 9 оканчиваются лишь на 0, 1, 4, 5, 6 и 9.

Входит ли 100 в стандартную сетку таблицы? Нет. Сетка «десятки × единицы» рассчитана на числа от 0 до 99, а 100² = 10 000 приходится помнить отдельно.