Площадь треугольника: все формулы с примерами

Площадь треугольника: основные понятия и обозначения

Площадь треугольника — мера части плоскости, ограниченной треугольником. За единицу площади принимают квадрат со стороной, равной единице длины. Отсюда единицы мм², см², м². 1 м² = 10 000 см², поэтому при переходе от квадратных сантиметров к квадратным метрам число делят на 10 000.

Обозначения на всей странице одни и те же:

• a, b, c — стороны треугольника;
• h или hₐ — высота, проведённая к стороне a;
• α, β, γ — углы, лежащие напротив сторон a, b, c соответственно;
• p = (a + b + c) / 2 — полупериметр;
• r — радиус вписанной окружности, R — радиус описанной.

Перед подстановкой переведите все длины в одну единицу. Например, если основание дано в метрах, а высота в сантиметрах, сначала приведите обе длины к сантиметрам или к метрам и только потом умножайте.

Площадь треугольника через основание и высоту

Основная формула:

S = ½·a·h

• a — сторона (её называют основанием);
• h — высота, проведённая именно к стороне a или к её продолжению.

Откуда берётся ½? Приложим к треугольнику такой же, повёрнутый на 180°, и получим параллелограмм. Его площадь равна произведению основания на высоту, а треугольник составляет ровно половину.

Пример 1. Сторона a = 10 см, высота к ней h = 6 см. Тогда S = ½·10·6 = 30 см².

Если известны площадь и сторона, та же формула даёт высоту: h = 2S/a. При площади 30 см² и стороне 10 см получаем h = 60/10 = 6 см.

Высота в тупоугольном треугольнике

На чертежах здесь часто ошибаются. Если угол при основании тупой, высота к прилежащей стороне внутри треугольника не помещается. Её опускают на продолжение стороны, и отрезок высоты лежит вне фигуры.

Формула та же: S = ½·a·h, где h — расстояние от вершины до прямой, содержащей сторону a. Не берите вместо высоты боковую сторону или отрезок внутри треугольника, который высотой не является.

Площадь через две стороны и угол между ними (через синус)

Если высота не дана, но известны две стороны и угол между ними, высоту отдельно искать не нужно:

S = ½·a·b·sin γ

• a, b — две стороны треугольника;
• γ — угол между ними (именно между, а не любой из трёх).

Вывод короткий. Опустим высоту на сторону a из конца стороны b. Из прямоугольного треугольника h = b·sin γ. Подставим в S = ½·a·h и получим формулу.

Значения синусов, которые понадобятся:

Угол γ	30°	45°	60°	90°
sin γ	½	√2/2	√3/2	1

Пример 2. Стороны a = 8 см, b = 5 см, угол между ними γ = 30°. Тогда S = ½·8·5·sin 30° = ½·8·5·0,5 = 10 см².

Из формулы следуют два факта. Первый: sin 150° = sin 30°, так что при тех же сторонах углы 30° и 150° дают одинаковую площадь. Угол по двум сторонам и площади поэтому восстанавливается неоднозначно. Второй: при γ = 90° синус равен единице, и формула переходит в S = ½·a·b, то есть в площадь прямоугольного треугольника через катеты.

Через сторону и два прилежащих угла

Если известны одна сторона и оба угла при ней:

S = a²·sin β·sin γ / (2·sin(β + γ))

• a — известная сторона;
• β, γ — углы, прилежащие к ней.

Пример. a = 10, β = γ = 45°. Тогда S = 100·(√2/2)·(√2/2) / (2·sin 90°) = 100·½ / 2 = 25. Проверка: это прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами 5√2, и ½·(5√2)² = ½·50 = 25. При a = 6 и β = γ = 60° формула даёт 9√3, как у равностороннего треугольника со стороной 6.

Формула площади треугольника по трём сторонам (формула Герона)

Формула площади треугольника по сторонам — формула Герона:

S = √(p(p−a)(p−b)(p−c))

• a, b, c — стороны;
• p = (a + b + c) / 2 — полупериметр.

Пример 3. Стороны 13, 14 и 15 см. Полупериметр p = (13 + 14 + 15)/2 = 21. Тогда S = √(21·8·7·6) = √7056 = 84 см².

Проверим другой формулой. Высота к стороне 14 равна h = 2S/a = 2·84/14 = 12 см, и S = ½·14·12 = 84 см². Площадь у треугольника одна, поэтому числа совпали.

Вывод формулы Герона в четыре шага:

1. По теореме косинусов cos γ = (a² + b² − c²)/(2ab).
2. Синус: sin γ = √(1 − cos² γ) (угол треугольника меньше 180°, синус положителен).
3. Подставляем в S = ½·a·b·sin γ.
4. Раскладываем подкоренное выражение как разность квадратов; после преобразований получается p(p−a)(p−b)(p−c).

Для быстрой проверки возьмите «египетский» треугольник 3–4–5: p = 6, S = √(6·3·2·1) = √36 = 6. Он прямоугольный, и ½·3·4 = 6.

Если под корнем получился ноль или отрицательное число, треугольника с такими сторонами не существует: нарушено неравенство треугольника, сумма двух сторон не превышает третью. Перед вычислением проверьте, что каждая скобка p−a, p−b, p−c положительна.

Площадь через радиусы вписанной и описанной окружностей

Через радиус вписанной окружности:

S = p·r

• p — полупериметр;
• r — радиус вписанной окружности.

Соединим центр вписанной окружности с вершинами. Треугольник распадётся на три меньших с основаниями a, b, c и общей высотой r: радиус перпендикулярен каждой стороне в точке касания. Сумма их площадей ½·a·r + ½·b·r + ½·c·r = p·r.

Через радиус описанной окружности:

S = abc/(4R)

• a, b, c — стороны;
• R — радиус описанной окружности.

Формула следует из формулы с синусом. По следствию из теоремы синусов a = 2R·sin α, откуда sin α = a/(2R); подставляем в S = ½·b·c·sin α.

Пример. Треугольник 13–14–15 с S = 84 см² и p = 21 см. Из площади находим радиусы:

• r = S/p = 84/21 = 4 см;
• R = abc/(4S) = 13·14·15/(4·84) = 2730/336 = 65/8 = 8,125 см.

R можно найти и без площади, через теорему синусов. Для угла α напротив стороны 13: cos α = (14² + 15² − 13²)/(2·14·15) = 252/420 = 0,6, значит sin α = 0,8 и R = 13/(2·0,8) = 8,125 см. Совпало.

Теперь прямая подстановка — если радиусы известны, а площадь нет:

• S = p·r = 21·4 = 84 см²;
• S = abc/(4R) = 2730/(4·8,125) = 2730/32,5 = 84 см².

Площадь прямоугольного, равнобедренного и равностороннего треугольника

Прямоугольный треугольник

S = ½·a·b

• a, b — катеты.

Один катет служит высотой к другому. Подставляйте только два катета, гипотенуза в этой формуле не участвует.

Пример. Катеты 6 и 8 см, гипотенуза c = √(36 + 64) = 10 см. Площадь S = ½·6·8 = 24 см². Тот же треугольник можно посчитать ещё двумя способами:

• через гипотенузу и острый угол: S = ¼·c²·sin 2α. Здесь sin α = 0,6, cos α = 0,8, sin 2α = 2·0,6·0,8 = 0,96, и S = ¼·100·0,96 = 24 см²;
• через отрезки, на которые точка касания вписанной окружности делит гипотенузу: S = m·n, где m = p − a, n = p − b. Полупериметр p = 12, m = 6, n = 4, S = 6·4 = 24 см².

Высота к гипотенузе h = ab/c = 48/10 = 4,8 см. Проверка: ½·10·4,8 = 24 см².

Если даны гипотенуза и катет, второй катет находят по теореме Пифагора. Для c = 13 и a = 5: b = √(169 − 25) = 12, S = ½·5·12 = 30.

Равнобедренный треугольник

Пусть a — основание, b — боковая сторона. Высота к основанию делит его пополам, и по теореме Пифагора h = √(b² − a²/4).

Пример. Основание 10, боковая сторона 13. Высота h = √(169 − 25) = 12, площадь S = ½·10·12 = 60. Проверим через угол при вершине α: S = ½·b²·sin α. Через половинный угол sin α = 120/169, и S = ½·169·120/169 = 60.

Равносторонний треугольник

S = (√3/4)·a²

• a — сторона.

Пример 4. a = 6 см: S = (√3/4)·36 = 9√3 ≈ 15,59 см² (с точностью до сотых). В ответе оставьте точное значение 9√3, а приближённое давайте с указанием точности.

Через другие элементы того же треугольника тоже получается 9√3:

• высота h = a·√3/2 = 3√3, и S = h²/√3 = 27/√3 = 9√3;
• радиус вписанной окружности r = √3, и S = 3√3·r² = 9√3;
• радиус описанной R = 2√3, и S = 3√3·R²/4 = 3√3·12/4 = 9√3;
• периметр P = 18, и S = √3·P²/36 = √3·324/36 = 9√3.

Площадь треугольника по координатам и на клетках

Если известны координаты вершин A(x₁; y₁), B(x₂; y₂), C(x₃; y₃):

S = ½·|(x₂ − x₁)(y₃ − y₁) − (x₃ − x₁)(y₂ − y₁)|

• x₁, y₁, x₂, y₂, x₃, y₃ — координаты вершин A, B, C.

Модуль обязателен: без него знак результата зависит от порядка обхода вершин, а отрицательной площадь не бывает.

Пример. A(1; 1), B(5; 1), C(2; 4). Считаем: S = ½·|(5−1)(4−1) − (2−1)(1−1)| = ½·|4·3 − 1·0| = 6.

На клетчатой бумаге тот же треугольник можно посчитать без формулы, достроив его до прямоугольника 4×3 площадью 12. Сторона AB лежит на нижней стороне прямоугольника, вершина C — на верхней, поэтому лишних прямоугольных треугольников по краям всего два: с площадями 1,5 и 4,5. Остаётся 12 − 1,5 − 4,5 = 6.

Для вершин в узлах сетки есть третий способ — формула Пика: S = В + Г/2 − 1, где В — число узлов строго внутри треугольника, Г — число узлов на границе. Здесь В = 3, Г = 8, и S = 3 + 4 − 1 = 6. Три способа, один ответ.

Таблица всех формул площади треугольника и типичные ошибки

Формулу выбирают по тому, что известно в задаче:

Что известно	Формула
Сторона и высота к ней	S = ½·a·h
Две стороны и угол между ними	S = ½·a·b·sin γ
Три стороны	S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)), p = (a+b+c)/2
Полупериметр и радиус вписанной окружности	S = p·r
Три стороны и радиус описанной окружности	S = abc/(4R)
Сторона и два прилежащих угла	S = a²·sin β·sin γ / (2·sin(β + γ))
Катеты прямоугольного треугольника	S = ½·a·b
Сторона равностороннего треугольника	S = (√3/4)·a²
Координаты вершин	формула с модулем из раздела о координатах

Частые ошибки в формате «неправильно → правильно»:

• Сторону a умножили на высоту к стороне b → высота должна быть проведена к той стороне, на которую умножаем: ½·a·hₐ.
• В формулу с синусом подставлен угол, не лежащий между сторонами → нужен угол между a и b; если дан другой угол, сначала найдите нужный.
• Потерян множитель ½: S = a·h → S = ½·a·h; без половины получается площадь параллелограмма.
• В S = ½·a·b подставлены катет и гипотенуза → только два катета.
• Перемножены метры и сантиметры → все длины сначала приводят к одной единице, ответ записывают в квадратных единицах.
• Калькулятор в режиме радиан: sin 30 ≈ −0,988 вместо 0,5 → перед вычислением синуса включите режим DEG.

Для самопроверки удобен треугольник со сторонами 5, 5 и 6 см. По Герону: p = 8, S = √(8·3·3·2) = √144 = 12 см². Через высоту к основанию: h = √(25 − 9) = 4, S = ½·6·4 = 12 см². Если ваш способ дал другое число, ошибка в вычислениях: любые две формулы для одного треугольника обязаны сойтись.

Часто задаваемые вопросы

Можно ли найти площадь только по двум сторонам? Нет. Две стороны не задают треугольник однозначно: угол между ними может быть любым, и площадь меняется от почти нуля до ½·a·b. Нужен третий элемент: угол между сторонами, третья сторона или высота.

Почему в формуле S = ½·a·h делим на 2? Два одинаковых треугольника складываются в параллелограмм с тем же основанием и той же высотой. Площадь параллелограмма равна a·h, а треугольник составляет его половину.

Что делать, если данный угол не лежит между известными сторонами? Формула S = ½·a·b·sin γ напрямую не подходит. Пусть известны стороны a, b и угол α напротив a. По теореме синусов sin β = b·sin α / a. Если sin β > 1, треугольника нет. Если sin β = 1, треугольник один и β = 90°. Если sin β < 1, у угла β два возможных значения: β и 180° − β; второе допустимо, только если α + (180° − β) < 180°. Для каждого допустимого β найдите γ = 180° − α − β и подставьте в S = ½·a·b·sin γ: у двух треугольников площади будут разными.

Как проверить, существует ли треугольник с заданными сторонами? По неравенству треугольника: сумма любых двух сторон больше третьей. В формуле Герона это видно сразу: если хотя бы одна скобка p−a, p−b, p−c неположительна, под корнем не будет положительного числа и треугольника не существует.

Как из площади найти высоту, радиус вписанной или описанной окружности? Прочитайте те же формулы справа налево: h = 2S/a, r = S/p, R = abc/(4S). Для треугольника 13–14–15 с S = 84 см² высота к стороне 14 равна 12 см, r = 4 см, R = 8,125 см.

В каких единицах записывать ответ? В квадратных: мм², см², м². Если длины даны в сантиметрах, площадь получится в см²; для перевода в м² число делят на 10 000. Ответ с корнем оставьте в точном виде (9√3 см²), а приближение давайте с указанием точности: ≈ 15,59 см² с точностью до сотых.