Площадь квадрата: через сторону и диагональ

Остальные формулы, через периметр и радиусы окружностей, получаются из этих двух за один шаг.

Что такое квадрат и его площадь

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Есть и второе определение: ромб, у которого все углы прямые. Определения равносильны, и при выводе формул пригодятся оба.

Свойства, которые понадобятся дальше:

• все углы равны 90°;
• диагонали равны между собой;
• диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам;
• диагональ выражается через сторону: d = a·√2.

Площадь — это число единичных квадратов, которые покрывают фигуру без пропусков и перекрытий. Её обозначают буквой S. Например, в квадрат со стороной 3 см помещается 9 квадратиков 1 см × 1 см: три ряда по три. Площадь равна 9 см².

Формула площади квадрата через сторону: S = a²

Площадь прямоугольника равна S = a·b. У квадрата b = a:

S = a·a = a²

• S — площадь;
• a — сторона квадрата.

Например, при a = 5 см площадь S = 5² = 25 см².

Бывает и обратная задача: площадь известна, а найти нужно сторону. Тогда извлекают квадратный корень:

a = √S

• a — сторона квадрата;
• S — площадь.

При S = 49 см² сторона a = √49 = 7 см.

Следите за единицами измерения. Сантиметры умножаются на сантиметры: см · см = см². В квадрат возводится не только число, но и единица, отсюда и чтение «a в квадрате», и название «квадратные сантиметры».

Площадь квадрата через диагональ: S = d²/2

S = d²/2

• S — площадь;
• d — диагональ квадрата.

Вывести формулу площади квадрата через диагональ можно двумя способами.

Через теорему Пифагора. Диагональ делит квадрат на два равных прямоугольных треугольника с катетами a и a. Тогда d² = a² + a² = 2a², откуда a² = d²/2. А a² и есть площадь.

Через формулу ромба. Площадь ромба равна S = ½·d₁·d₂. У квадрата диагонали равны: d₁ = d₂ = d. Подставляем и получаем S = d²/2.

Например, d = 10 см. Тогда S = 10²/2 = 100/2 = 50 см², а сторона a = d/√2 = 10/√2 ≈ 7,07 см (округление до сотых).

Связи между величинами:

• d = a·√2;
• a = d/√2;
• d = √(2S).

Здесь √2 ≈ 1,41, точнее 1,4142. При любой целой диагонали сторона d/√2 — число иррациональное, поэтому в ответе указывайте точность округления.

Другие формулы: через периметр и радиусы окружностей

Если в условии нет ни стороны, ни диагонали, выразите сторону или диагональ через то, что дано.

Через периметр: S = P²/16

Периметр квадрата P = 4a, значит a = P/4 и S = (P/4)² = P²/16.

• S — площадь;
• P — периметр квадрата.

Например, P = 20 см → a = 5 см, S = 25 см². Проверка по формуле: 20²/16 = 400/16 = 25 см². Ещё один случай: P = 36 см → a = 9 см, S = 81 см² (1296/16 = 81, сходится).

Через радиус вписанной окружности: S = 4·r²

Вписанная окружность касается всех сторон, её диаметр равен стороне: a = 2r. Отсюда S = (2r)² = 4·r².

• S — площадь;
• r — радиус вписанной окружности.

При r = 3 см площадь S = 4·9 = 36 см².

Через радиус описанной окружности: S = 2·R²

Описанная окружность проходит через все вершины, её диаметр равен диагонали: d = 2R. Подставляем в S = d²/2: S = (2R)²/2 = 2·R².

• S — площадь;
• R — радиус описанной окружности.

Например, R = 5 см → S = 2·25 = 50 см². Это сходится с примером про диагональ: при d = 10 см радиус описанной окружности равен 5 см, и площадь та же, 50 см².

Что известно	Формула	Откуда	Пример
Сторона a	S = a²	S = a·b при b = a	a = 7 см → 49 см²
Диагональ d	S = d²/2	теорема Пифагора	d = 10 см → 50 см²
Периметр P	S = P²/16	a = P/4	P = 20 см → 25 см²
Радиус вписанной r	S = 4·r²	a = 2r	r = 3 см → 36 см²
Радиус описанной R	S = 2·R²	d = 2R	R = 5 см → 50 см²

Единицы измерения площади и их перевод

Единица	Сколько это
1 см²	100 мм²
1 дм²	100 см²
1 м²	100 дм² = 10 000 см²
1 а (сотка)	100 м²
1 га	100 а = 10 000 м²
1 км²	100 га = 1 000 000 м²

Правило: если единица длины меняется в 10 раз, единица площади меняется в 100 раз.

Главная ловушка — запись «1 м² = 100 см²». Она неверна. В метре 100 см, и 1 м² = 100 см · 100 см = 10 000 см². Представьте квадрат метр на метр: в нём сто рядов по сто сантиметровых квадратиков, а не десять на десять.

Гектар — это квадрат 100 м × 100 м. Двойку к обозначению «га» не пишут: гектар сам по себе единица площади.

Примеры решения задач

1. По стороне. Дано: a = 7 см. Формула S = a². Подстановка: S = 7² = 49 см².

2. По диагонали. Дано: d = 6√2 см. Формула S = d²/2. Подстановка: d² = 36·2 = 72, S = 72/2 = 36 см². Сторона a = d/√2 = 6 см, проверка: 6² = 36.

3. По периметру. Дано: P = 36 см. Сторона a = 36/4 = 9 см, площадь S = 9² = 81 см².

4. Обратная. Дано: S = 49 см². Формула a = √S. Сторона a = √49 = 7 см.

5. Сторона увеличена вдвое. Дано: a = 4 см → S = 16 см². Новая сторона 8 см → S = 64 см². Площадь выросла в 4 раза, потому что (2a)² = 4a². Если сторону увеличить в 3 раза, площадь вырастет в 9 раз: множитель возводится в квадрат.

6. Плитка. Дано: пол 3 м × 3 м, плитка 30 см × 30 см. Площадь пола 3² = 9 м². Площадь плитки: 30 см = 0,3 м, 0,3² = 0,09 м². Нужно 9 / 0,09 = 100 плиток. Проверка вторым способом: вдоль стены укладывается 3 / 0,3 = 10 плиток, рядов тоже 10, итого 10·10 = 100. Ответы сошлись.

На самом деле всё проще: выразите сторону a через то, что дано, и возведите её в квадрат.

Типичные ошибки при вычислении площади

Неправильно	Правильно	Почему
S = 4a или S = 2a	S = a²	путают площадь с периметром: 4a — это периметр
S = d²	S = d²/2	забыли деление на 2
a = 80 см, ответ 6400 м²	6400 см² = 0,64 м²	смешали сантиметры и метры
ответ «25 см»	«25 см²»	площадь пишут в квадратных единицах
S = 36 → a = 18	a = √36 = 6	нужен корень, а не деление на 2
√0,49 = 0,07	√0,49 = 0,7	неверно извлечён корень из десятичной дроби
S = 50 → d = 2·√50 ≈ 14,14	d = √(2·50) = √100 = 10 см	двойка стоит под корнем
1 м² = 100 см²	1 м² = 10 000 см²	единица площади меняется в 100 раз

Если одна величина дана в метрах, а другая в сантиметрах, сначала переведите всё к одной единице и только потом считайте. Например, сторону 3 м 50 см запишите как 3,5 м, а при стороне 80 см и ответе в м² — как 0,8 м.

Задачи для самостоятельной тренировки

Ответы — после условий.

1. Сторона квадрата равна 12 см. Найдите площадь.
2. Диагональ квадрата равна 8 см. Найдите площадь.
3. Периметр квадрата равен 28 см. Найдите площадь.
4. Площадь квадрата равна 121 см². Найдите сторону.
5. Площадь квадрата равна 50 см². Найдите диагональ.
6. Комната имеет форму квадрата со стороной 3,5 м. Найдите площадь пола.

Ответы для самопроверки: 1) 144 см²; 2) 64/2 = 32 см²; 3) a = 7 см, S = 49 см²; 4) a = 11 см; 5) d = √(2·50) = 10 см; 6) 3,5² = 12,25 м².

Часто задаваемые вопросы

Можно ли найти площадь квадрата по одной стороне? Да: S = a². У квадрата все стороны равны, и он полностью определяется одной величиной.

Как найти площадь через диагональ, если сторона неизвестна? Сторона не нужна: S = d²/2. Возведите диагональ в квадрат и разделите на 2.

Как найти сторону, если известна площадь? Извлеките квадратный корень: a = √S. Делить площадь на 2 или на 4 — ошибка.

Как перевести см² в м²? Разделите на 10 000: 6400 см² = 0,64 м². В одном квадратном метре 10 000 квадратных сантиметров, а не 100.

Во сколько раз вырастет площадь, если сторону удвоить? В 4 раза: (2a)² = 4a². При увеличении стороны в k раз площадь растёт в k² раз.

Какая площадь у квадрата, построенного на серединах сторон? Вдвое меньше исходной. Например, у исходного квадрата сторона 10 см и площадь 100 см², а у квадрата с вершинами в серединах его сторон площадь 50 см².