Площадь прямоугольного треугольника: все формулы с примерами

S = ½·a·b. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Если катеты неизвестны, площадь находят через гипотенузу, высоту, острый угол или вписанную окружность. Ниже собраны формулы, таблица выбора по исходным данным и способы проверить ответ. Тема входит в курс геометрии 8 класса.

Прямоугольный треугольник: основные определения и обозначения

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол равен 90°. Два других угла острые, в сумме они дают 90°: α + β = 90°. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами. Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой.

Обозначения во всех формулах ниже:

• a, b — катеты;
• c — гипотенуза;
• h — высота, проведённая к гипотенузе;
• α, β — острые углы: α противолежит катету a и прилежит к катету b, β — наоборот;
• r — радиус вписанной окружности.

Стороны связаны теоремой Пифагора: a² + b² = c².

• a, b — катеты;
• c — гипотенуза.

Неизвестный катет: b = √(c² − a²), гипотенуза: c = √(a² + b²). Гипотенуза всегда больше каждого из катетов.

Главная формула площади прямоугольного треугольника S = a·b/2

S = ½·a·b

• a, b — катеты;
• S — площадь в квадратных единицах.

Откуда берётся формула? Возьмём прямоугольник со сторонами a и b, его площадь равна a·b. Диагональ делит его на два равных прямоугольных треугольника, каждому достаётся половина. Это частный случай общей формулы S = ½·a·h: в прямоугольном треугольнике каждый катет служит высотой к другому.

Ту же площадь можно выразить через гипотенузу и высоту к ней:

S = ½·c·h

• c — гипотенуза;
• h — высота к гипотенузе.

Если приравнять две записи, получится связь h = a·b/c.

Проверим на числах. Катеты 6 и 8 см: S = ½·6·8 = 24 см². Гипотенуза c = √(36 + 64) = 10 см, высота h = 6·8/10 = 4,8 см, и ½·10·4,8 = 24 см² ✓. Обе записи дают одно и то же: это одна формула для разных пар «основание и высота».

Площадь по сторонам и высоте

По двум катетам

S = ½·a·b

• a, b — катеты.

Например, катеты 3 и 4 см: S = ½·3·4 = 6 см².

По гипотенузе и катету

Сначала находят второй катет по теореме Пифагора, затем площадь:

S = ½·a·√(c² − a²)

• a — известный катет;
• c — гипотенуза.

Например, c = 13 см, a = 5 см. Тогда b = √(169 − 25) = √144 = 12 см и S = ½·5·12 = 30 см².

По гипотенузе и высоте к ней

S = ½·c·h

• c — гипотенуза;
• h — высота к гипотенузе.

У формулы есть ограничение, которое часто упускают: высота к гипотенузе не превышает её половины, h ≤ c/2. Допустим, в условии c = 8 см и h = 4 см. Тогда S = 16 см², но это предельный случай: равнобедренный треугольник с катетами 4√2 ≈ 5,66 см (проверка: ½·(4√2)² = ½·32 = 16 ✓). При h > c/2 прямоугольного треугольника с такими данными не существует, и ошибку надо искать в условии или в вычислениях.

По трём сторонам: формула Герона

S = √(p·(p − a)·(p − b)·(p − c))

• a, b, c — стороны;
• p = (a + b + c)/2 — полупериметр.

Проверка на сторонах 6, 8, 10 см: p = 12, S = √(12·6·4·2) = √576 = 24 см², что совпадает с ½·6·8. Для сторон 3, 4, 5 см: p = 6, S = √(6·3·2·1) = √36 = 6 см². Формула Герона работает, но если две стороны — катеты, быстрее перемножить их и разделить пополам.

Площадь через острый угол

Для вычислений понадобятся табличные значения:

Угол	sin	cos	tg	sin 2α
30°	½	√3/2	√3/3 ≈ 0,577	√3/2
45°	√2/2	√2/2	1	1
60°	√3/2	½	√3 ≈ 1,732	√3/2

Через гипотенузу и угол

В обозначениях введения a = c·sin α, b = c·cos α, отсюда:

S = ½·c²·sin α·cos α = ¼·c²·sin 2α

• c — гипотенуза;
• α — любой из острых углов.

Например, c = 10 см, α = 30°: S = ¼·100·sin 60° = 25·(√3/2) ≈ 21,65 см² (до сотых). Проверка через катеты: a = 10·sin 30° = 5 см, b = 10·cos 30° ≈ 8,66 см, ½·5·8,66 ≈ 21,65 см² ✓.

Через катет и прилежащий угол

В этом и следующем подразделе a — известный катет, а α — известный острый угол, и главное — понять по чертежу, прилежит угол к a или лежит напротив. Если угол прилежит к катету a, второй катет равен b = a·tg α:

S = ½·a²·tg α

• a — известный катет;
• α — угол, прилежащий к нему.

В обозначениях введения прилежащий к катету a угол — это β, и та же формула записывается как S = ½·a²·tg β.

Например, a = 6 см, прилежащий угол 60°: b = 6·tg 60° = 6√3 ≈ 10,39 см, S = ½·36·√3 = 18√3 ≈ 31,18 см² (до сотых).

Через катет и противолежащий угол

Если угол α лежит напротив катета a (как во введении), то b = a / tg α и:

S = a² / (2·tg α)

• a — известный катет;
• α — угол, противолежащий ему.

Площадь через вписанную окружность

Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника:

r = (a + b − c) / 2

Через радиус и гипотенузу:

S = r·(r + c)

• r — радиус вписанной окружности;
• c — гипотенуза.

Например, треугольник 5, 12, 13 см: r = (5 + 12 − 13)/2 = 2 см, S = 2·(2 + 13) = 30 см², столько же даёт ½·5·12 ✓.

Есть и формула через отрезки, на которые точка касания вписанной окружности делит гипотенузу:

S = m·n

• m, n — отрезки гипотенузы от точки касания до её концов.

Для того же треугольника отрезки равны 3 и 10 см: 3·10 = 30 см² ✓. Формула верна только для прямоугольного треугольника, в произвольном она не работает.

Если в условии дан не радиус, а другие параметры, их сводят к r (везде π ≈ 3,14):

• из диаметра: r = d/2;
• из площади круга: r = √(S_круга/π); при S_круга = 3,14 см² получается r = 1 см;
• из длины окружности: r = L/(2π); при L = 6,28 см тоже r = 1 см.

О терминах: площадь бывает у круга, у окружности есть только длина. Правильно писать «площадь вписанного круга», хотя в задачах встречается и небрежный вариант.

Таблица выбора формулы по исходным данным

Найдите в левом столбце то, что дано в условии.

Что известно	Формула	Промежуточный шаг
Два катета	S = ½·a·b	не нужен
Гипотенуза и катет	S = ½·a·√(c² − a²)	b = √(c² − a²)
Гипотенуза и высота к ней	S = ½·c·h	проверить h ≤ c/2
Три стороны	S = √(p·(p−a)·(p−b)·(p−c))	p = (a+b+c)/2
Гипотенуза и острый угол	S = ¼·c²·sin 2α	удвоить угол
Катет и прилежащий угол	S = ½·a²·tg α	b = a·tg α
Катет и противолежащий угол	S = a²/(2·tg α)	b = a/tg α
Радиус вписанной окружности и гипотенуза	S = r·(r + c)	при нужде r = (a+b−c)/2

Отдельный частный случай — равнобедренный прямоугольный треугольник. Катеты у него равны, и S = a²/2 = c²/4. Например, при катете 4 см площадь равна 8 см².

Пошаговые примеры решения задач

Пример 1. Катеты в разных единицах. Катеты 0,6 м и 80 см. Шаг 1: приводим к одной единице, 0,6 м = 60 см. Шаг 2: S = ½·60·80 = 2400 см². Шаг 3, если ответ нужен в метрах: 2400 / 10 000 = 0,24 м².

Пример 2. Три стороны в произвольном порядке. Даны стороны 13, 5 и 12 см. Шаг 1: самую длинную сторону принимаем за гипотенузу, c = 13 см. Шаг 2: проверяем 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² ✓, треугольник прямоугольный. Шаг 3: S = ½·5·12 = 30 см², без формулы Герона.

Пример 3. Катет и противолежащий угол. a = 6 см, угол напротив него 30°. Шаг 1: b = 6 / tg 30° = 6 / (√3/3) = 6√3 ≈ 10,39 см. Шаг 2: S = 36 / (2·√3/3) = 18√3 ≈ 31,18 см² (до сотых). Это тот же треугольник, что в примере с прилежащим углом 60°: угол 30° напротив катета означает угол 60° при нём, и площади совпадают ✓.

Пример 4. Обратная задача. Площадь 24 см², один катет 6 см. Из S = ½·a·b выражаем b = 2S/a = 48/6 = 8 см. Если нужна гипотенуза: c = √(36 + 64) = 10 см.

Проверка ответа, единицы измерения и практическое применение

Четыре проверки занимают полминуты:

• площадь не превышает c²/4; если вышло больше, ошибка в данных или вычислениях;
• каждый катет меньше гипотенузы;
• если даны три стороны, самую длинную принимают за c и проверяют a² + b² = c²; если равенство не выполняется, треугольник не прямоугольный и формулы этой статьи к нему неприменимы;
• калькулятор должен быть настроен на градусы, а не на радианы: sin 30° даёт 0,5.

Площадь выражается в квадратных единицах: перемножаются две длины, и сантиметр на сантиметр даёт см². Перевод: 1 м² = 10 000 см², 1 см² = 100 мм². Перед подстановкой обе длины приводят к одной единице.

Частые ошибки:

Неправильно	Правильно
умножать катет на гипотенузу	перемножать два катета
забыть ½ — получится площадь прямоугольника	S = ½·a·b
брать за высоту гипотенузу	высота к гипотенузе — отдельный отрезок, h = a·b/c

Формула нужна при расчёте ската крыши, раскрое материала, разметке участка. Фронтон обычно равнобедренный, а не прямоугольный: его делят высотой на два прямоугольных треугольника и складывают площади. Результат можно сверить с калькулятором на этой странице.

Частые вопросы о площади прямоугольного треугольника

Можно ли найти площадь по одной гипотенузе? Нет. Гипотенузе 10 см соответствует бесконечно много прямоугольных треугольников с разной площадью: от почти нулевой до c²/4 = 25 см². Нужен ещё один элемент: катет, высота или острый угол.

Чему равна площадь равнобедренного прямоугольного треугольника? S = a²/2, где a — катет, или S = c²/4 через гипотенузу. Это наибольшая площадь при заданной гипотенузе.

Зачем нужна формула Герона, если есть катеты? Она работает для любого треугольника и пригодится, когда стороны даны, а прямой ли угол — неясно. Если катеты известны, S = ½·a·b короче и обходится без корней.

Почему высота к гипотенузе не бывает больше половины гипотенузы? Вершина прямого угла лежит на окружности, построенной на гипотенузе как на диаметре. Дальше радиуса этой окружности, c/2, от гипотенузы она отойти не может.

В каких единицах записывать ответ? В квадратных: см², м², мм². Если катеты даны в разных единицах, сначала приведите их к одной, иначе ответ не будет иметь смысла.

На самом деле всё проще: достаточно твёрдо знать S = ½·a·b и теорему Пифагора, остальные формулы выводятся из них за один-два шага. Добавьте к этому табличные значения синуса, косинуса и тангенса для 30°, 45° и 60°, и любой набор исходных данных сведётся к двум катетам.