Площадь трапеции: формулы и примеры

Что такое трапеция: основные понятия

Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны называют основаниями, непараллельные — боковыми сторонами.

Обозначения, единые для всей статьи:

• a, b — основания, a > b;
• c, d — боковые стороны;
• h — высота, расстояние между основаниями;
• m — средняя линия, отрезок между серединами боковых сторон: m = (a + b)/2;
• d₁, d₂ — диагонали (буква d занята боковой стороной, поэтому диагональ всегда пишем с индексом);
• φ — угол между диагоналями;
• α — угол при большем основании, прилежащий к боковой стороне c;
• r — радиус вписанной окружности;
• p — полупериметр трапеции (не путайте с P — периметром).

Виды трапеций:

Вид	Отличительный признак
Разносторонняя	Боковые стороны разной длины, прямых углов нет
Равнобедренная	Боковые стороны равны: c = d
Прямоугольная	Одна боковая сторона перпендикулярна основаниям

Формулы площади трапеции

Выбор формулы зависит от того, что дано в задаче.

Формула	Что известно	Когда применять
S = (a + b)/2 · h	Основания и высота	Любая трапеция, базовый случай
S = m·h	Средняя линия и высота	Любая трапеция; это та же формула, ведь m = (a + b)/2
S = ½·d₁·d₂·sin φ	Диагонали и угол между ними	Любой выпуклый четырёхугольник; при φ = 90° получается S = ½·d₁·d₂
S = p·r	Полупериметр и радиус вписанной окружности	Только если окружность можно вписать: a + b = c + d
S = m·c·sin α	Средняя линия, боковая сторона и прилежащий к ней угол при большем основании	Любая трапеция, потому что h = c·sin α

Откуда берётся основная формула? Возьмите две одинаковые трапеции и приложите вторую к первой, перевернув её. Получится параллелограмм с основанием a + b и той же высотой h. Его площадь (a + b)·h, трапеция — ровно половина. Второй способ: диагональ делит трапецию на два треугольника с общей высотой, и ½·a·h + ½·b·h = (a + b)/2 · h.

Например, средняя линия m = 8 см, высота h = 5 см. Тогда S = 8 · 5 = 40 см². Если известно ещё одно основание, второе находят обратной формулой b = 2m − a.

Через диагонали: d₁ = 10 см, d₂ = 8 см, φ = 30°. Считаем: S = ½ · 10 · 8 · 0,5 = 20 см².

Здесь есть ловушка. При пересечении диагонали образуют два угла, острый и тупой. Подставлять можно любой: sin φ = sin(180° − φ), ответ не изменится. Ещё одна тонкость — тупоугольная трапеция: перпендикуляр из вершины может упасть на продолжение основания, за пределы фигуры. Ошибки построения здесь нет: высота — расстояние между параллельными прямыми, и лежать внутри фигуры она не обязана.

Площадь трапеции по четырём сторонам

Если даны четыре стороны, а высоты нет, её нужно вычислить. Через вершину меньшего основания проведите прямую, параллельную боковой стороне. Она отсечёт треугольник со сторонами a − b, c, d, и его высота совпадает с высотой трапеции.

Сначала проверьте, что такой треугольник существует: каждая из длин a − b, c, d должна быть строго меньше суммы двух других. Если неравенство нарушено, трапеции с такими сторонами нет. Дальше площадь треугольника S₁ находят по формуле Герона, а высоту — как h = 2S₁/(a − b).

• p₁ — полупериметр вспомогательного треугольника (индекс отличает его от полупериметра трапеции p);
• S₁ = √(p₁·(p₁ − (a − b))·(p₁ − c)·(p₁ − d)).

Например, a = 25 см, b = 4 см, c = 10 см, d = 17 см. Стороны треугольника: 25 − 4 = 21, 10 и 17 см; неравенство выполняется, 10 + 17 > 21. Полупериметр p₁ = (21 + 10 + 17)/2 = 24 см. По Герону: S₁ = √(24 · 3 · 14 · 7) = √7056 = 84 см². Высота: h = 2 · 84 / 21 = 8 см. Площадь трапеции: S = (25 + 4)/2 · 8 = 14,5 · 8 = 116 см².

Метод работает и для равнобедренной трапеции, хотя для неё есть путь короче (о нём ниже). Числа: a = 10 см, b = 4 см, c = d = 5 см. Треугольник 6, 5, 5: p₁ = 8, S₁ = √(8 · 2 · 3 · 3) = 12 см², h = 24/6 = 4 см, S = 7 · 4 = 28 см².

Площадь равнобедренной трапеции

Формула та же, базовая, и вся работа сводится к поиску высоты. Опустите высоты из концов меньшего основания: они отсекут от большего основания два равных отрезка по (a − b)/2. Высоту даёт теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике с гипотенузой c:

h = √(c² − ((a − b)/2)²)

• c — боковая сторона;
• a, b — основания, a > b.

Например, a = 12 см, b = 6 см, c = 5 см. Отрезок: (12 − 6)/2 = 3 см. Высота: h = √(5² − 3²) = √16 = 4 см. Площадь: S = (12 + 6)/2 · 4 = 9 · 4 = 36 см².

Два частных случая ускоряют решение.

1. Диагонали перпендикулярны. Высота равна средней линии, h = (a + b)/2, и площадь считается сразу: S = h². Диагонали равнобедренной трапеции равны, поэтому через них формула записывается как S = ½·d₁²·sin φ, где

d₁ = d₂.

1. Вписанная окружность. Она существует, только если a + b = c + d; для равнобедренной трапеции отсюда c = (a + b)/2. Высота равна диаметру, h = 2r, и заодно h = √(a·b).

Площадь прямоугольной трапеции

Прямоугольная трапеция удобнее всех: боковая сторона c, перпендикулярная основаниям, и есть высота.

S = (a + b)/2 · c

• a, b — основания;
• c — боковая сторона, перпендикулярная основаниям.

Если вместо c дана наклонная боковая сторона d, высоту находят из прямоугольного треугольника: h = √(d² − (a − b)²). Отрезок при основании здесь равен a − b целиком, без деления на 2: в равнобедренной трапеции высоты отсекают два отрезка, а здесь один. Через угол: h = d·sin α, где α — острый угол при большем основании, прилежащий к стороне d (угол при стороне c здесь прямой).

Например, a = 9 см, b = 3 см, наклонная сторона d = 10 см. Отрезок: 9 − 3 = 6 см. Высота: h = √(100 − 36) = √64 = 8 см. Площадь: S = (9 + 3)/2 · 8 = 6 · 8 = 48 см².

Площадь трапеции по координатам вершин

Для трапеции, заданной координатами вершин, подходит формула Гаусса, она же формула «шнурования». Вершины перечисляют строго по порядку обхода контура. Для каждой пары соседних вершин считают xᵢ·yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁·yᵢ, результаты складывают, модуль суммы делят на 2.

Например, A(1; 1), B(3; 4), C(6; 4), D(9; 1). По парам: 1·4 − 3·1 = 1; 3·4 − 6·4 = −12; 6·1 − 9·4 = −30; 9·1 − 1·1 = 8. Сумма: 1 − 12 − 30 + 8 = −33. Площадь: S = ½·|−33| = 16,5 ед.². Проверка вторым способом: основания AD = 8 и BC = 3 горизонтальны, высота 3, (8 + 3)/2 · 3 = 16,5 ед.². Сошлось.

На клетчатой бумаге координаты не нужны: основания и высоту считают по клеткам. Допустим, основания занимают 7 и 3 клетки, высота — 4 клетки, клетка 1 × 1 см. Тогда S = (7 + 3)/2 · 4 = 20 см².

Примеры решения задач

Задача 1. Основания 10 см и 6 см, высота 4 см. Решение: S = (10 + 6)/2 · 4 = 8 · 4 = 32 см². Проверка через среднюю линию: m = 8 см, S = 8 · 4 = 32 см².

Задача 2. Равнобедренная трапеция с основаниями 10 см и 4 см, угол при большем основании 45°. Решение: высота отсекает отрезок (10 − 4)/2 = 3 см; поскольку tg 45° = 1, высота равна этому отрезку: h = 3 см. Тогда S = (10 + 4)/2 · 3 = 7 · 3 = 21 см². Боковая сторона для справки: c = 3√2 ≈ 4,24 см.

Задача 3. Равнобедренная трапеция с основаниями 10 см и 6 см и перпендикулярными диагоналями. Решение: h = (10 + 6)/2 = 8 см, S = 8² = 64 см². Проверка через диагонали: d₁ = d₂ = 8√2 см, S = ½ · (8√2)² = ½ · 128 = 64 см².

Задача 4. В равнобедренную трапецию с основаниями 8 см и 2 см вписана окружность. Решение: боковая сторона c = (8 + 2)/2 = 5 см; высота h = √(5² − 3²) = 4 см (или h = √(8·2) = 4 см); площадь S = (8 + 2)/2 · 4 = 20 см². Проверка: r = h/2 = 2 см, полупериметр p = 10 см, S = p·r = 20 см².

Задача 5. Средняя линия 7 см, боковая сторона 6 см, прилежащий к ней угол при большем основании 30°. Решение: S = m·c·sin α = 7 · 6 · 0,5 = 21 см².

Частые ошибки

• Боковая сторона вместо высоты. В базовую формулу подставляют c, а нужна h — перпендикуляр между основаниями. Если высота не дана, её находят через теорему Пифагора или синус.
• Потеряно деление на 2. S = (a + b)·h — это площадь параллелограмма из двух трапеций. Верно: S = (a + b)/2 · h.
• Основания в разных единицах. Сложить 1 м и 40 см как 1 + 40 нельзя: сначала переведите всё в одну единицу. И 1 м² = 10 000 см², а не 100.
• Синус в радианах. В режиме RAD калькулятор на ввод 30 выдаст не 0,5. Включите DEG: sin 30° = 0,5.
• Формула равнобедренной трапеции для прямоугольной. Неправильно: h = √(d² − ((a − b)/2)²). Правильно: h = √(d² − (a − b)²), отрезок равен a − b без деления.

Упражнения для самопроверки

1. Основания 14 см и 6 см, высота 5 см. Найдите площадь. (Ответ: 50 см².)
2. Средняя линия 11 см, площадь 66 см². Найдите высоту. (Ответ: 6 см.)
3. Диагонали 8 см и 6 см, угол между ними 30°. Найдите площадь. (Ответ: ½ · 8 · 6 · 0,5 = 12 см².)
4. Равнобедренная трапеция: основания 16 см и 4 см, боковая сторона 10 см. Найдите площадь. (Ответ: h = √(100 − 36) = 8 см, S = 80 см².)
5. Средняя линия 9 см, одно основание 12 см. Найдите второе. (Ответ: b = 2·9 − 12 = 6 см.)

Если ответ не сходится, начните проверку с высоты: на ней больше всего промежуточных вычислений.

Часто задаваемые вопросы

Параллелограмм — это трапеция? Зависит от определения. В этой статье — нет: у трапеции ровно одна пара параллельных сторон. При более широком определении параллелограмм считают частным случаем трапеции. Формула S = (a + b)/2 · h для него в любом случае верна: при a = b она превращается в S = a·h.

Какой из двух углов между диагоналями подставлять в формулу? Любой. Смежные углы дают равные синусы, sin φ = sin(180° − φ), и результат S = ½·d₁·d₂·sin φ от выбора не зависит.

Что известно о треугольниках, на которые трапецию делят диагонали? Диагонали делят трапецию на четыре треугольника. Треугольники при боковых сторонах равновелики. Треугольники при основаниях подобны с коэффициентом a : b, их площади относятся как a² : b².

Высота получилась нецелой, что писать в ответ? Точное значение с корнем, например h = √20 = 2√5 см. Если нужна десятичная запись, округляйте с указанием точности: h ≈ 4,47 см (до сотых). Площадь тогда тоже будет приближённой.

Чем расчёт для прямоугольной трапеции проще остальных? Высота дана сразу: это боковая сторона, перпендикулярная основаниям. Формула сводится к S = (a + b)/2 · c.

Когда работает формула S = p·r? Только если в трапецию можно вписать окружность, то есть при a + b = c + d. Без этой проверки формулу применять нельзя.

На самом деле всё проще: какая бы трапеция ни попалась, задача сводится к поиску высоты. Найдёте h — дальше работает S = (a + b)/2 · h.