Площадь круга: формула через радиус и диаметр

Что такое круг и чем он отличается от окружности

Окружность — замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью, вместе с самой окружностью. У линии площади нет, поэтому речь всегда идёт о площади круга. Запрос «площадь окружности» означает именно её.

Для расчётов понадобятся такие величины:

• центр O — точка, от которой отмеряют расстояния;
• радиус r — отрезок от центра до любой точки окружности;
• диаметр d — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр, d = 2r;
• длина окружности C = 2π·r = π·d;
• число π ≈ 3,14159… — отношение длины окружности к её диаметру, одинаковое для всех окружностей.

Формула площади круга через радиус

Основная формула:

S = π·r²

• S — площадь круга;
• π — математическая постоянная, π ≈ 3,14;
• r — радиус.

Порядок действий здесь важен. Сначала возведите радиус в квадрат, потом умножьте на π. Если возвести в квадрат произведение π·r, ответ окажется завышен в π раз.

Например, r = 5 см. Тогда S = π·5² = 25π ≈ 78,54 см² (при точном π, с округлением до сотых). Если по условию π = 3,14, ответ 3,14·25 = 78,5 см². Верны обе записи, но указывайте, какое π взяли: «25π см²» — точный ответ, «≈ 78,5 см²» — приближённый.

Частые ошибки

Неправильно	Правильно
(π·r)² — в квадрат возвели всё произведение	π·r² — в квадрате только радиус
π·d² при расчёте через диаметр	π·d²/4
Ответ «78,5 см»	Площадь измеряют в квадратных единицах: 78,5 см²
2π·r вместо площади	2π·r — длина окружности, площадь равна π·r²
Округление π или r посреди расчёта	Округлять один раз, в конце

Площадь круга через диаметр

Подставьте r = d/2 в основную формулу:

S = π·(d/2)² = π·d²/4

• S — площадь круга;
• d — диаметр;
• π ≈ 3,14.

Например, d = 10 см. Тогда S = π·10²/4 = π·100/4 = 25π ≈ 78,54 см², а при π = 3,14 получается 314/4 = 78,5 см². Ответ совпал с примером для r = 5 см: круг тот же самый.

Если в условии дан диаметр, считайте сразу по π·d²/4 и не ищите радиус отдельным шагом: меньше действий — меньше мест для ошибки. Для прикидки в уме: π/4 ≈ 0,785, поэтому S ≈ 0,785·d².

Другие способы найти площадь круга

Если известна длина окружности C, радиус равен r = C/(2π). После подстановки в S = π·r² получается формула в одну строку:

S = C²/(4π)

• C — длина окружности;
• π ≈ 3,14.

Пример: C = 31,4 см, π = 3,14. Через радиус: r = 31,4/6,28 = 5 см, дальше расчёт уже знаком. Напрямую: S = 31,4²/(4·3,14) = 985,96/12,56 = 78,5 см². Сошлось до цифры.

Обратная задача — найти радиус по площади:

r = √(S/π), d = 2·√(S/π)

Например, S = 50,24 см², π = 3,14. Тогда S/π = 50,24/3,14 = 16, откуда r = √16 = 4 см и d = 8 см.

Не округляйте радиус на промежуточном шаге. Возьмём C = 40 см. Точный ответ S = 1600/(4π) ≈ 127,32 см². Если сначала найти r ≈ 6,37 см и подставить округлённое значение, выйдет π·6,37² ≈ 127,48 см² — расхождение уже в десятых.

Откуда берётся формула площади круга

Разрежьте круг на много одинаковых секторов и выложите их в ряд, остриём попеременно вверх и вниз. Получится фигура, похожая на прямоугольник: высота равна радиусу r, основание — половине длины окружности, π·r. Площадь такого «почти прямоугольника» π·r·r = π·r². Чем тоньше секторы, тем меньше фигура отличается от прямоугольника, и в пределе равенство становится точным.

Второй способ — представить круг как набор тонких концентрических колец. Если каждое кольцо разрезать и распрямить, полоски сложатся в «почти треугольник» с основанием 2π·r (внешняя окружность) и высотой r. Его площадь S = ½·2π·r·r = π·r².

Строгое обоснование дал Архимед: площадь круга равна площади прямоугольного треугольника с катетами C и r. Для оценки числа π он зажимал круг между вписанным и описанным 96-угольниками. В старших классах ту же формулу выводят интегрированием: вычисляют площадь под графиком y = √(r² − x²) и удваивают.

На самом деле всё проще: во всех трёх подходах круг сводят к фигуре, площадь которой уже известна, — к прямоугольнику или треугольнику.

Площадь сектора и сегмента круга

Сектор — часть круга между двумя радиусами и дугой. Его площадь пропорциональна центральному углу α:

S = π·r²·α/360° (α в градусах) или S = r²·α/2 (α в радианах)

• r — радиус;
• α — центральный угол.

Длина дуги, которая ограничивает сектор:

L = π·r·α/180°

• r — радиус;
• α — центральный угол в градусах.

Сегмент — часть круга между хордой и дугой:

S = r²·(α − sin α)/2

• r — радиус;
• α — центральный угол в радианах;
• sin α — синус этого угла.

Пример: r = 6 см, α = 60°. Сектор: S = π·36·60/360 = 6π ≈ 18,85 см² (при π = 3,14 — 18,84 см²). Дуга: L = π·6·60/180 = 2π ≈ 6,28 см. Для сегмента угол переводим в радианы, α = π/3 ≈ 1,0472, берём sin 60° ≈ 0,8660 и получаем S = 36·(1,0472 − 0,8660)/2 = 18·0,1812 ≈ 3,26 см².

Площадь полукруга и четверти круга

Полукруг — сектор с углом 180°, четверть круга — сектор с углом 90°:

S = π·r²/2 и S = π·r²/4

Пример при r = 5 см: полукруг 12,5π ≈ 39,27 см², четверть 6,25π ≈ 19,63 см².

Задачи на нахождение площади круга с решением

Задача 1. Дано: r = 7 см, π ≈ 22/7. Решение: S = 22/7·7² = 22/7·49 = 22·7 = 154 см². Ответ: при принятом в условии значении π — 154 см²; точный ответ — 49π см² ≈ 153,94 см².

Задача 2. Дано: пицца диаметром d = 30 см. Решение: S = π·30²/4 = 225π ≈ 706,9 см². Ответ: ≈ 706,9 см². Две пиццы по 20 см вместе дают 2·100π = 200π ≈ 628,3 см². Одна большая больше двух маленьких на 25π ≈ 78,5 см²: площадь растёт как квадрат диаметра, а не линейно.

Задача 3. Дано: C = 31,4 см, π = 3,14. Решение: S = 31,4²/(4·3,14) = 985,96/12,56 = 78,5 см². Ответ: 78,5 см².

Задача 4. Дано: S = 50,24 см², π = 3,14. Найти радиус. Решение: r = √(50,24/3,14) = √16 = 4 см. Ответ: r = 4 см.

Задача 5. Дано: круглая клумба диаметром d = 3 м. Решение: S = π·3²/4 = 2,25π ≈ 7,07 м². Ответ: ≈ 7,07 м², или ≈ 70 686 см² (7,0686·10 000).

Закономерность из задачи 2 работает всегда: удвойте радиус — площадь вырастет в 4 раза, утройте — в 9. Причина — квадрат в формуле π·r².

Единицы измерения и сводная таблица формул

Площадь измеряют в квадратных единицах: мм², см², м², км². Коэффициент для площади равен квадрату линейного. В 1 см 10 мм, поэтому 1 см² = 10² мм² = 100 мм². В 1 м 100 см, поэтому 1 м² = 100² см² = 10 000 см². Отсюда 78,54 см² = 0,007854 м². Если радиус дан в метрах, а ответ нужен в сантиметрах, переводите единицы до вычислений.

Что известно	Формула площади
Радиус r	S = π·r²
Диаметр d	S = π·d²/4
Длина окружности C	S = C²/(4π)
Полукруг, радиус r	S = π·r²/2
Четверть круга, радиус r	S = π·r²/4
Сектор с углом α (в градусах)	S = π·r²·α/360°
Сегмент с углом α (в радианах)	S = r²·(α − sin α)/2
Кольцо с радиусами R и r	S = π·(R² − r²)

Обратные формулы: r = √(S/π), d = 2·√(S/π), r = C/(2π).

Часто задаваемые вопросы

Есть ли площадь у окружности? Нет. Окружность — линия, у неё есть только длина C = 2π·r. Площадь есть у круга, который эта окружность ограничивает.

Какое π брать: 3,14 или 22/7? Если значение задано в условии, берите его. Если нет, в школе обычно берут 3,14. Дробь 22/7 ≈ 3,1429 удобна, когда радиус кратен 7: семёрки сокращаются, и считать можно без калькулятора. Погрешность у π = 3,14 небольшая: для r = 5 см получается 78,5 против 78,54 см², около 0,05 %.

Как найти диаметр, если известна площадь? По формуле d = 2·√(S/π). Например, при S = 50,24 см² и π = 3,14 выходит d = 2·√16 = 8 см.

Как перевести см² в м²? Разделить на 10 000. В одном метре 100 см, а для площади коэффициент возводят в квадрат: 100² = 10 000. Частая ошибка — «1 м² = 100 см²».

Точный и приближённый ответ — это одно и то же? Нет. «25π см²» — точный ответ, «≈ 78,54 см²» — приближение. В ответе указывайте, какое значение π взяли и до какого знака округляли.

Если запомнить одно, пусть это будет π·r². Формулы через диаметр, через длину окружности, для сектора и полукруга получаются из неё подстановкой.