Свойства степеней: все правила с примерами

Свойства степеней с натуральным показателем — это пять формул. К ним добавляются определения нулевой, отрицательной и дробной степени. Зубрить формулы степеней не нужно: каждая получается, если расписать множители. Ниже этот вывод показан для каждого свойства, а в конце есть сводная таблица, разбор частых ошибок и задачи с решениями.

Что такое степень числа

Степень с натуральным показателем — это произведение одинаковых множителей:

aⁿ = a·a·…·a (n множителей)

• a — основание степени;
• n — показатель степени, натуральное число.

Например, 2⁵ = 2·2·2·2·2 = 32. Здесь 2 — основание, 5 — показатель, читается запись как «два в пятой степени». Степени встречаются и вне алгебры: площадь квадрата со стороной a равна a² (м², см²), объём куба с ребром a равен a³ (м³, см³).

Частные случаи:

1. a¹ = a — первая степень числа равна самому числу;
2. 1ⁿ = 1 — единица в любой степени равна единице;
3. 0ⁿ = 0 при n ≥ 1.

Если основание отрицательное, знак результата зависит от показателя: чётный показатель даёт плюс, нечётный — минус. Сравните: (−2)³ = −8, но (−2)⁴ = 16.

Порядок действий в выражении без скобок: сначала возведение в степень, затем умножение и деление, в конце сложение и вычитание.

Пять основных свойств степени с натуральным показателем

Все пять формул следуют из определения. Если вы забыли формулу, распишите множители — и она восстановится.

Умножение степеней с одинаковым основанием

aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ

• a — основание; m, n — натуральные показатели.

Вывод: 2³·2² = (2·2·2)·(2·2) — это пять двоек подряд, то есть 2⁵ = 32. Показатели сложились.

Пример: 2³·2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷ = 128. Проверка: 8·16 = 128.

Деление степеней с одинаковым основанием

aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ

• a — основание, a ≠ 0;
• m, n — натуральные показатели, m > n.

Условие m > n нужно, чтобы показатель m − n оставался натуральным. Когда в курсе вводят нулевую и отрицательную степень, формула работает и при m = n, и при m < n — ограничение снимается.

Вывод: в дроби (a·a·…·a)/(a·a·…·a) сверху m множителей, снизу n. Сокращаются n одинаковых множителей, сверху остаётся m − n.

Пример: 5⁶ : 5⁴ = 5² = 25.

Возведение степени в степень

(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ

• a — основание; m, n — натуральные показатели.

Вывод: (aᵐ)ⁿ — это n групп по m множителей a, всего m·n множителей.

Пример: (3²)³ = 3⁶ = 729. Проверка: 9³ = 729.

Степень произведения

(a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ

• a, b — множители; n — натуральный показатель.

Вывод: (a·b)ⁿ = (a·b)·(a·b)·…·(a·b). Перегруппируйте множители: все a вместе, все b вместе — получится aⁿ·bⁿ.

Формулу применяют и справа налево — так быстрее считать: 2⁵·5⁵ = (2·5)⁵ = 10⁵ = 100 000.

Степень дроби

(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ

• a — числитель; b — знаменатель, b ≠ 0; n — натуральный показатель.

Вывод: (a/b)ⁿ — произведение n одинаковых дробей. При умножении дробей перемножают числители и знаменатели: сверху n множителей a, снизу n множителей b.

Пример: (2/3)³ = 2³/3³ = 8/27.

Нулевая и отрицательная степень

Равенство a⁰ = 1 выводят из свойства деления. Возьмите частное aⁿ : aⁿ. По свойству оно равно aⁿ⁻ⁿ = a⁰. С другой стороны, ненулевое число, делённое на само себя, даёт 1. Отсюда:

a⁰ = 1

• a — основание, a ≠ 0.

Отрицательный показатель определяют через дробь:

a⁻ⁿ = 1/aⁿ

• a — основание, a ≠ 0; n — натуральный показатель.

Например, 2⁻³ = 1/2³ = 1/8, 4⁻² = 1/4² = 1/16. Обратите внимание: 2⁻³ — положительное число. Минус в показателе даёт обратное число, а знак результата не меняет.

Для дробного основания отсюда следует формула (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ при a, b ≠ 0. Пример: (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4.

В 10–11 классах показатель становится дробным:

a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)

• a — основание, a > 0; m — целое число, n — натуральное, n ≥ 2.

Пример: 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4. Условие a > 0 обязательно: запись (−8)^(1/3) в школьном курсе не определяют, хотя ∛(−8) = −2 существует.

Действия со степенями с разными основаниями и показателями

Если основания разные, а показатели одинаковые, свойства степени произведения и степени дроби применяют справа налево:

2³·5³ = (2·5)³ = 10³ = 1000 12⁴ : 4⁴ = (12/4)⁴ = 3⁴ = 81

Если различаются и основания, и показатели, попробуйте привести всё к одному основанию. Например, в 4³·8 заметим, что 4 = 2² и 8 = 2³:

4³·8 = (2²)³·2³ = 2⁶·2³ = 2⁹ = 512

Если ни основания, ни показатели не совпадают и общего основания нет, степени вычисляют по отдельности. Для 2³·3⁴ формулы нет: 8·81 = 648.

Как представить число в виде степени

Разложите число на простые множители и соберите одинаковые в степень. Например, 81 = 3·3·3·3 = 3⁴, и одновременно 81 = 9². Представление не единственное: выбирайте основание, которое уже есть в задаче.

Полезные значения: 2¹⁰ = 1024, 3⁵ = 243, 5⁴ = 625. Степени двойки встречаются и в информатике: в школьном курсе 1 Кбайт = 2¹⁰ = 1024 байта. Строго по стандарту 1024 байта — это кибибайт, а килобайт в системе SI равен 1000 байт.

Сложение и вычитание степеней

Для суммы и разности степеней свойств нет. Контрпример: 2³ + 2² = 8 + 4 = 12, а 2⁵ = 32. Формула aᵐ⁺ⁿ относится только к умножению.

Что можно сделать с суммой:

1. Вычислить каждую степень и сложить результаты: 2³ + 2⁴ = 8 + 16 = 24.
2. Вынести общий множитель: 3⁵ + 3⁴ = 3⁴·(3 + 1) = 81·4 = 324.
3. Сложить подобные слагаемые: 5x² + 3x² = 8x². Складываются коэффициенты, показатель не меняется.

Сумма x² + x³ не упрощается: слагаемые не подобные. Можно только вынести x² за скобку: x²·(1 + x).

Таблица свойств и формул степеней

Для первых пяти строк m, n — натуральные числа.

Правило	Формула	Условие	Пример
Умножение	aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ	—	2³·2⁴ = 128
Деление	aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ	a ≠ 0; m > n (после введения целых показателей — любые m, n)	5⁶ : 5⁴ = 25
Степень степени	(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ	—	(3²)³ = 729
Степень произведения	(a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ	—	2⁵·5⁵ = 100 000
Степень дроби	(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ	b ≠ 0	(2/3)³ = 8/27
Нулевая степень	a⁰ = 1	a ≠ 0	7⁰ = 1
Отрицательная степень	a⁻ⁿ = 1/aⁿ	a ≠ 0	4⁻² = 1/16
Дробный показатель	a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)	a > 0	8^(2/3) = 4

Темы по школьной программе обычно распределены так: в 7 классе — натуральный показатель и a⁰, в 8 классе — целый отрицательный, в 10–11 классах — рациональный.

Частые ошибки при работе со степенями

Неправильно	Правильно
2³ = 6 (основание умножили на показатель)	2³ = 2·2·2 = 8
2³ + 2⁴ = 2⁷	2³ + 2⁴ = 8 + 16 = 24; для суммы свойств нет
−3² = 9	−3² = −9: сначала возводят в квадрат, потом ставят минус; а (−3)² = 9
(a + b)² = a² + b²	(a + b)² = a² + 2ab + b²
2³·2³ = 4⁶	2³·2³ = 2⁶ = 64; основание при умножении не меняется
2³·3³ = 6⁶	2³·3³ = 6³ = 216; перемножаются основания, показатель общий
(2³)² = 2⁹	(2³)² = 2⁶ = 64; а 2^(3²) = 2⁹ = 512: без скобок сначала вычисляют степень в показателе

На самом деле всё проще: почти каждая ошибка из таблицы исчезает, если в сомнительном месте расписать степень как произведение и пересчитать множители.

Примеры и задачи с решениями

Задача 1. Упростите (x³)²·x⁴ : x⁵ при x ≠ 0.

Решение. (x³)² = x⁶, далее x⁶·x⁴ = x¹⁰, затем x¹⁰ : x⁵ = x⁵. Одной строкой: показатель равен 3·2 + 4 − 5 = 5. Ответ: x⁵.

Задача 2. Вычислите 2⁷·3⁵ / 6⁵.

Решение. 6⁵ = (2·3)⁵ = 2⁵·3⁵. Тогда 2⁷·3⁵ / (2⁵·3⁵) = 2⁷⁻⁵ = 2² = 4. Ответ: 4.

Задача 3. Вычислите 25⁻³·125².

Решение. Приведём к основанию 5: 25 = 5², 125 = 5³. Получаем (5²)⁻³·(5³)² = 5⁻⁶·5⁶ = 5⁰ = 1. Ответ: 1.

Задача 4 (сложные проценты). Вклад 1000 руб. лежит 3 года под 5 % годовых с капитализацией. Сколько будет на счёте в конце срока?

Решение. Каждый год сумма умножается на 1,05, за три года — на 1,05³. Итог: 1000·1,05³ = 1157,625 ≈ 1157,63 руб. (с точностью до копеек). Доход ≈ 157,63 руб. Три последовательных умножения здесь заменяет одна степень.

Вопросы и ответы

Сколько всего свойств степеней нужно знать? Пять формул для натурального показателя: умножение, деление, степень степени, степень произведения, степень дроби. К ним добавляются три определения: a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1/aⁿ и a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ). Итого восемь строк в таблице выше.

Почему число в нулевой степени равно единице? Из свойства деления: aⁿ : aⁿ равно a⁰, а частное числа и самого себя равно 1. Условие a ≠ 0 обязательно.

Как умножать степени с разными основаниями? Если показатели одинаковые, перемножьте основания: 2³·5³ = 10³. Если показатели разные, попробуйте привести к общему основанию, как в 4³·8 = 2⁹. Если не подходит ни то, ни другое, вычислите каждую степень отдельно.

Чему равно 0⁰? В школьном курсе это выражение не определено. 0ⁿ = 0 при n ≥ 1, а нулевая степень требует условия a ≠ 0.

Может ли степень с отрицательным показателем быть отрицательным числом? Может. Знак результата зависит от основания, а не от знака показателя: 2⁻³ = 1/8 > 0, а (−2)⁻³ = −1/8, потому что 3 — нечётное число.

Можно ли складывать показатели при сложении степеней? Нет. 2³ + 2² = 12, а не 2⁵ = 32. Сумму степеней упрощают вынесением общего множителя или приведением подобных слагаемых.

Перед контрольной повторите сводную таблицу и таблицу ошибок. Чаще всего путают aᵐ·aⁿ и aᵐ + aⁿ и теряют знак при отрицательном основании.