Формулы сокращённого умножения: все 7 с примерами

Что такое формулы сокращённого умножения (ФСУ) и зачем они нужны

Формулы сокращённого умножения — это тождества, то есть равенства, верные при любых значениях входящих в них переменных. Этим тождество и отличается от уравнения. Уравнение x² = 4 верно только при x = 2 и x = −2. Тождество (x + 1)² = x² + 2x + 1 выполняется при любом x: подставьте 0 или −17, равенство сохранится.

Формулы позволяют возвести двучлен в степень или перемножить скобки без почленного раскрытия. Без формулы квадрат двучлена требует четырёх умножений и приведения подобных. С формулой ответ записывают сразу: 99² = (100 − 1)² = 10 000 − 200 + 1 = 9801. Такой пример считается устно.

Тему проходят в 7 классе. С 8 класса формулы применяют как рабочий инструмент: чтобы упрощать выражения, раскладывать их на множители, решать уравнения и сокращать алгебраические дроби. На ОГЭ и ЕГЭ формулы нужны именно в таких заданиях.

Все 7 формул сокращённого умножения: таблица

Название	Формула	Словами
Квадрат суммы	(a + b)² = a² + 2ab + b²	квадрат первого плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго
Квадрат разности	(a − b)² = a² − 2ab + b²	квадрат первого минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго
Разность квадратов	a² − b² = (a − b)(a + b)	произведение разности выражений и их суммы
Куб суммы	(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³	куб первого плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго
Куб разности	(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³	те же члены, знаки чередуются: плюс, минус, плюс, минус
Сумма кубов	a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)	произведение суммы выражений и неполного квадрата разности
Разность кубов	a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)	произведение разности выражений и неполного квадрата суммы

Обозначения во всех формулах одинаковы:

• a — первое выражение, не обязательно одна буква: например, 2x или 3y²;
• b — второе выражение.

Три пары формул записывают компактно: (a ± b)² = a² ± 2ab + b², (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³, a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²). Знак ∓ означает: если в левой части плюс, здесь минус, и наоборот.

Ниже каждая формула проверена числами при a = 2, b = 1. Возьмите этот приём за привычку.

Формула квадрата суммы

(a + b)² = a² + 2ab + b²

• a — первое слагаемое;
• b — второе слагаемое.

Проверка: (2 + 1)² = 9, справа 4 + 4 + 1 = 9.

Формула квадрата разности

(a − b)² = a² − 2ab + b²

• a — уменьшаемое;
• b — вычитаемое.

Проверка: (2 − 1)² = 1, справа 4 − 4 + 1 = 1.

Формула разности квадратов

a² − b² = (a − b)(a + b)

• a — выражение, квадрат которого уменьшаемое;
• b — выражение, квадрат которого вычитаемое.

Проверка: 4 − 1 = 3, справа 1 · 3 = 3.

Формула куба суммы

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

• a — первое слагаемое;
• b — второе слагаемое.

Проверка: 3³ = 27, справа 8 + 12 + 6 + 1 = 27.

Формула куба разности

(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

• a — уменьшаемое;
• b — вычитаемое.

Проверка: 1³ = 1, справа 8 − 12 + 6 − 1 = 1. Пример: (x − 1)³ = x³ − 3x² + 3x − 1.

Формула суммы кубов

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

• a — выражение, куб которого первое слагаемое;
• b — выражение, куб которого второе слагаемое.

Проверка: 8 + 1 = 9, справа 3 · (4 − 2 + 1) = 3 · 3 = 9. Пример: x³ + 27 = (x + 3)(x² − 3x + 9).

Формула разности кубов

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

• a — выражение, куб которого уменьшаемое;
• b — выражение, куб которого вычитаемое.

Проверка: 8 − 1 = 7, справа 1 · (4 + 2 + 1) = 7.

Доказательство и вывод формул

Все семь формул выводятся почленным умножением скобок.

Почему появляется 2ab

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a·a + a·b + b·a + b·b = a² + 2ab + b²

Средний член 2ab складывается из двух одинаковых слагаемых ab и ba. Отсюда «удвоенное произведение». Квадрат разности выводится так же, только оба средних слагаемых идут с минусом: (a − b)(a − b) = a² − ab − ab + b² = a² − 2ab + b².

Вывод разности квадратов

(a − b)(a + b) = a² + ab − ab − b² = a² − b². Слагаемые +ab и −ab взаимно уничтожаются.

Обратный вывод идёт через группировку: a² − b² = a² − ab + ab − b² = a(a − b) + b(a − b) = (a − b)(a + b).

Геометрический смысл квадрата суммы

Составьте сторону квадрата из отрезков a и b. Большой квадрат разрежется на квадрат a², квадрат b² и два прямоугольника ab.

Пусть a = 3 см, b = 2 см. Площадь целиком S = 5² = 25 см², по частям 9 + 4 + 2·6 = 25 см². Сходится.

Откуда берутся коэффициенты 1-3-3-1

Куб суммы получается умножением квадрата на скобку: (a + b)³ = (a + b)²(a + b) = (a² + 2ab + b²)(a + b). Подобные слагаемые a²b набираются трижды: одно даёт a²·b, ещё два — 2ab·a. Отсюда коэффициент 3.

Комбинаторная трактовка: в произведении (a + b)(a + b)(a + b) множитель b для члена a²b берётся ровно из одной скобки, а выбрать эту скобку можно тремя способами.

Куб разности выводится так же: (a − b)³ = (a² − 2ab + b²)(a − b) = a³ − a²b − 2a²b + 2ab² + ab² − b³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³.

Неполный квадрат

Множитель a² − ab + b² называют неполным квадратом разности, a² + ab + b² — неполным квадратом суммы. От полного квадрата их отличает средний член: ab, а не 2ab. Поэтому неполный квадрат не сворачивается в (a ± b)².

Сумма и разность кубов проверяются раскрытием скобок:

• (a + b)(a² − ab + b²) = a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³ = a³ + b³;
• (a − b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² − a²b − ab² − b³ = a³ − b³.

Как применять ФСУ: раскрытие скобок и разложение на множители

Каждое тождество читается в обе стороны:

• слева направо — раскрытие скобок: (x + 3)² = x² + 6x + 9, так как 2·x·3 = 6x;
• справа налево — разложение на множители: x² − 25 = (x − 5)(x + 5).

Как узнать формулу в готовом выражении? Возьмём 4x² − 12x + 9:

1. Крайние члены — полные квадраты: 4x² = (2x)², 9 = 3².
2. Проверьте средний член: 2·2x·3 = 12x, знак минус. Совпало.
3. Значит, 4x² − 12x + 9 = (2x − 3)².

Если средний член не равен удвоенному произведению, формула квадрата не подходит, и выражение преобразуют иначе. Ориентир по числу членов: разность квадратов a² − b² — всегда два члена, квадрат разности (a − b)² после раскрытия даёт три.

Разложение бывает многошаговым: x⁴ − 16 = (x² − 4)(x² + 4) = (x − 2)(x + 2)(x² + 4). Скобка x² + 4 — сумма квадратов, на множители с действительными коэффициентами она дальше не раскладывается.

Отдельный случай — сокращение дробей: (x² − 9)/(x + 3) = (x − 3)(x + 3)/(x + 3) = x − 3 при x ≠ −3. Оговорку про допустимые значения опускать нельзя: при x = −3 исходная дробь не определена.

Примеры с решением

Задачи идут по возрастанию сложности, первые три считаются устно. Попробуйте сначала решить сами, потом сверьтесь с разбором.

1. 51² = (50 + 1)² = 2500 + 100 + 1 = 2601.
2. 48·52 = (50 − 2)(50 + 2) = 2500 − 4 = 2496.
3. 101² − 99² = (101 − 99)(101 + 99) = 2·200 = 400.
4. (3x + 5)² = 9x² + 2·3x·5 + 25 = 9x² + 30x + 25.
5. (3x − 2y)² − (3x + 2y)². Это разность квадратов, где a = 3x − 2y, b = 3x + 2y. Тогда (a − b)(a + b) = (−4y)(6x) = −24xy. Проверка при x = 1, y = 1: слева 1 − 25 = −24, справа −24.
6. 4x² − 12x + 9 = (2x)² − 2·2x·3 + 3² = (2x − 3)².
7. Решите уравнение x² − 16 = 0. Раскладываем: (x − 4)(x + 4) = 0, откуда x₁ = −4, x₂ = 4.
8. Сократите дробь (a³ − 8)/(a − 2). Числитель — разность кубов: (a − 2)(a² + 2a + 4). После сокращения остаётся a² + 2a + 4 при a ≠ 2.
9. (x + 2)³ = x³ + 3·x²·2 + 3·x·4 + 8 = x³ + 6x² + 12x + 8.
10. Разложите 8x³ − 1 на множители. Это разность кубов, a = 2x, b = 1: 8x³ − 1 = (2x − 1)(4x² + 2x + 1).

Типичные ошибки и как проверить себя

Неправильно	Правильно	В чём дело
(a + b)² = a² + b²	(a + b)² = a² + 2ab + b²	потерян средний член 2ab
(a − b)² = a² − b²	(a − b)² = a² − 2ab + b²	квадрат разности спутан с разностью квадратов
a² + b² = (a + b)(a − b)	a² + b² не раскладывается	на множители с действительными коэффициентами сумма квадратов не раскладывается
(a + b)³ = a³ + 3ab² + 3a²b + b³	(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³	порядок членов сбит: записывайте степени a по убыванию 3, 2, 1, 0
a³ − b³ = (a − b)(a² − ab + b²)	a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)	в разности кубов стоит неполный квадрат суммы

Первый способ проверки — подстановка чисел. Возьмите a = 2, b = 1 и посчитайте обе части. Ошибочное равенство (a + b)² = a² + b² даёт слева 9, справа 5, расхождение видно сразу. Совпадение частей ещё не доказательство, но грубую ошибку такая проверка ловит почти всегда.

Второй способ — обратное действие. Разложили на множители — перемножьте скобки и сверьте с исходным выражением.

Как быстро запомнить формулы: мнемонические приёмы

На самом деле всё проще: учить нужно не семь независимых формул, а три конструкции — квадрат двучлена, куб двучлена и группу «разность квадратов, сумма и разность кубов».

• Квадраты. Проговаривайте словами: «квадрат первого, удвоенное произведение, квадрат второго». Минус в скобке меняет знак только у среднего члена.
• Кубы двучлена. Коэффициенты 1, 3, 3, 1 — строка треугольника Паскаля. Степень a убывает от 3 до 0, степень b растёт от 0 до 3, в кубе разности знаки чередуются.
• Сумма и разность кубов. Знак в первой скобке повторяет знак левой части, внутри неполного квадрата стоит противоположный: «в скобке минус — внутри плюс».

Учите формулы в обе стороны: в задачах часто дают x² − 6x + 9, а не готовую скобку (x − 3)². Раз в неделю выводите пару формул почленным умножением, тогда забытую формулу вы восстановите за минуту.

Дополнительные формулы сокращённого умножения

Помимо базовых семи есть формулы, которые пригодятся в 8–9 классах и на профильном уровне.

Квадрат суммы трёх слагаемых: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc. Проверка при a = b = c = 1: слева 3² = 9, справа 3 + 2 + 2 + 2 = 9.

Квадрат и куб суммы — частные случаи бинома Ньютона при n = 2 и n = 3. Коэффициенты берутся из треугольника Паскаля: строка 1 2 1 для квадрата, 1 3 3 1 для куба, 1 4 6 4 1 для четвёртой степени: (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.

Разность квадратов помогает в устном счёте. Например, 98·102 = (100 − 2)(100 + 2) = 10 000 − 4 = 9996, 998·1002 = 1000² − 2² = 999 996. Квадрат суммы работает так же: 102² = (100 + 2)² = 10 404.

Часто задаваемые вопросы

Чем квадрат разности отличается от разности квадратов?

Квадрат разности — это (a − b)²: сначала вычитание, потом возведение в степень, после раскрытия три члена. Разность квадратов — это a² − b², два уже возведённых в квадрат выражения; она раскладывается в произведение (a − b)(a + b). На числах: (3 − 2)² = 1, а 3² − 2² = 5.

Почему a² + b² не раскладывается на множители?

Для суммы квадратов нет формулы сокращённого умножения, и базовая форма a² + b² не раскладывается на множители с действительными коэффициентами. Например, x² + 4 > 0 при любом x, у выражения нет действительных корней, значит, нет и действительных линейных множителей. Скобку вида x² + 4 в ответе оставляют как есть.

Нужно ли учить формулы наизусть, если их можно вывести?

Вывод — страховка, а не замена. На контрольной и экзамене время ограничено: почленное раскрытие куба занимает в несколько раз больше времени, чем запись по формуле, а ошибиться в шести слагаемых проще. Разумный вариант — помнить все семь и уметь вывести любую.

В каком классе проходят ФСУ?

В 7 классе. С 8 класса и дальше формулы применяют в выражениях, уравнениях и алгебраических дробях, в том числе в заданиях ОГЭ и ЕГЭ.

Как проверить, что формула применена правильно?

Подставьте небольшие числа, например a = 2 и b = 1, и посчитайте обе части равенства. Второй способ — обратное действие: свернули выражение в скобки — раскройте их и сравните с исходным.