Периметр прямоугольника: формула и задачи

Что такое прямоугольник и его периметр

Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые. Из определения следуют его свойства:

1. Все четыре угла равны 90°.
2. Противоположные стороны равны и параллельны.
3. Диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.

Периметр — сумма длин всех сторон фигуры, то есть длина её замкнутой границы. Слово греческого происхождения и означает «измеряю вокруг». Если обойти фигуру по контуру и измерить пройденный путь, получится периметр.

Обозначения, которые встретятся дальше:

• a — длина;
• b — ширина;
• P — периметр;
• S — площадь;
• d — диагональ;
• R — радиус описанной окружности.

В чём измеряется периметр прямоугольника

Периметр — это длина, поэтому его измеряют в линейных единицах: миллиметрах, сантиметрах, дециметрах, метрах, километрах. Квадратные сантиметры относятся к площади. Ответ «26 см²» записан с ошибкой, даже если число верное.

Единица	Соотношение
1 см	10 мм
1 дм	10 см = 100 мм
1 м	100 см

Если стороны даны в разных единицах, сначала переведите их в одну и только потом складывайте. Например, стороны 2 дм и 15 см: 2 дм = 20 см, полупериметр равен 20 + 15 = 35 см. Сложить «2 + 15 = 17» нельзя — это дециметры плюс сантиметры.

Формулы периметра прямоугольника

Способ зависит от того, что известно в условии. Все варианты сводятся к одному: найти обе стороны и подставить их в основную формулу.

Сложение четырёх сторон

У прямоугольника две стороны длиной a и две длиной b. Складываем все:

P = a + b + a + b

• a — длина;
• b — ширина;
• P — периметр.

Основная формула

Если сгруппировать одинаковые слагаемые, получится самая короткая запись:

P = 2·(a + b) = 2a + 2b

• a, b — соседние стороны;
• P — периметр.

Через площадь и одну сторону

Площадь прямоугольника S = a·b, поэтому вторую сторону находят делением: b = S/a. Тогда:

P = 2·(a + S/a)

• S — площадь;
• a — известная сторона;
• P — периметр.

Через диагональ

Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника. По теореме Пифагора b = √(d² − a²):

P = 2·(a + √(d² − a²))

• d — диагональ;
• a — известная сторона;
• P — периметр.

Формула имеет смысл при d > a: диагональ длиннее любой стороны. Иначе вторая сторона получится нулевой или подкоренное выражение станет отрицательным.

Через радиус описанной окружности

Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность, и её диаметр совпадает с диагональю: d = 2R. Подставляем в предыдущую формулу:

P = 2·(a + √(4R² − a²))

• R — радиус описанной окружности;
• a — известная сторона;
• P — периметр.

Условие то же, что и для диагонали: 2R > a. Пример: R = 5 см, a = 6 см, тогда d = 10 см, b = 8 см, P = 2·(6 + 8) = 28 см.

Квадрат

У квадрата все стороны равны, и формула упрощается:

P = 4a

• a — сторона квадрата;
• P — периметр.

Обратная задача: найти сторону по периметру

Половина периметра равна сумме двух соседних сторон, отсюда:

b = P/2 − a (та же формула в другой записи: b = (P − 2a)/2)

• P — периметр;
• a — известная сторона;
• b — искомая сторона.

Что известно	Как считать
Обе стороны	P = 2·(a + b)
Сторона и площадь	b = S/a, потом основная формула
Сторона и диагональ	b = √(d² − a²), потом основная формула
Сторона и радиус R	d = 2R, дальше как с диагональю
Периметр и сторона	b = P/2 − a

Пример: периметр прямоугольника 8 см на 5 см тремя способами

Способ 1: сложить все стороны, 8 + 5 + 8 + 5 = 26 см. Подходит тем, кто ещё не умножает.

Способ 2: удвоить каждую сторону, 2·8 + 2·5 = 16 + 10 = 26 см.

Способ 3: удвоить сумму, 2·(8 + 5) = 2·13 = 26 см.

Ответ везде один, но третий способ быстрее: одно сложение и одно умножение. Его и стоит отработать до уверенности.

Задачи на нахождение периметра с решением

Задача 1. Дано: a = 9 см, сторона b на 11 см длиннее. Решение: b = 9 + 11 = 20 см; P = 2·(9 + 20) = 58 см. Ответ: 58 см.

Задача 2. Дано: стороны 30 мм и 4 см. Решение: 30 мм = 3 см; P = 2·(3 + 4) = 14 см. Ответ: 14 см.

Задача 3. Дано: S = 48 см², a = 6 см. Решение: b = 48 : 6 = 8 см; P = 2·(6 + 8) = 28 см. Ответ: 28 см.

Задача 4. Дано: d = 10 см, a = 6 см. Решение: b = √(100 − 36) = √64 = 8 см; P = 2·(6 + 8) = 28 см. Ответ: 28 см.

Задача 5 (обратная). Дано: P = 30 см, a = 9 см. Найти вторую сторону и площадь. Решение: b = 30 : 2 − 9 = 6 см; S = 9·6 = 54 см². Проверка: 2·(9 + 6) = 30 см, сходится. Ответ: b = 6 см, S = 54 см².

Проверку из задачи 5 полезно делать всегда: подставьте найденную сторону обратно и пересчитайте периметр.

Периметр прямоугольной фигуры сложной формы

Если из угла прямоугольника вырезали прямоугольный кусок, получается Г-образная фигура. Её периметр считают приёмом переноса сторон: горизонтальные отрезки «ступеньки» в сумме дают одну горизонтальную сторону описанного прямоугольника, вертикальные — одну вертикальную.

Пример: описанный прямоугольник 10 × 6 см, с угла вырезан кусок 4 × 3 см. Стороны фигуры: 10 + 6 + 6 + 3 + 4 + 3 = 32 см. Ровно столько же, сколько 2·(10 + 6) = 32 см — периметр исходного прямоугольника.

Как объяснить ребёнку периметр прямоугольника (2–3 класс)

С периметром обычно знакомятся в начальной школе, чаще во 2 классе, а затем возвращаются к теме в 3–5 классах. Начинать лучше с руки и линейки, формула подождёт:

1. Обведите фигуру пальцем по контуру. Это и есть периметр — длина «дороги вокруг».
2. Нарисуйте прямоугольник на клетчатой бумаге и измерьте стороны линейкой.
3. Обойдите вместе ковёр или стол по краю.

Если ребёнок ещё не умеет умножать, достаточно сложить все четыре стороны подряд: a + b + a + b. Удвоение появится позже, когда ребёнок заметит, что числа повторяются.

Частые ошибки и практическое применение

Неправильно	Правильно
P = a·b (это площадь)	P = 2·(a + b)
Сложили только две стороны: 8 + 5 = 13 см	Сторон четыре: 26 см
30 мм + 4 см = 34	Сначала перевод: 30 мм = 3 см, дальше 2·(3 + 4) = 14 см
Ответ «26 см²»	Периметр измеряют в единицах длины: 26 см

Где периметр нужен на практике:

• Плинтус. Комната 4 × 3 м: P = 2·(4 + 3) = 14 м. Из периметра вычитают ширину дверного проёма: при условной двери 0,9 м нужно 14 − 0,9 = 13,1 м. Для комнаты 4,5 × 3,2 м: P = 2·(4,5 + 3,2) = 15,4 м, плинтуса 15,4 − 0,9 = 14,5 м.
• Забор вокруг участка, бордюр вдоль клумбы, багет для рамки: везде считают длину контура.

Совет для замеров на местности: измеряйте все четыре стороны, а не две. На бумаге противоположные стороны равны по определению, у реального участка или комнаты они могут отличаться.

Задачи для самопроверки с ответами

1. Стороны 7 см и 3 см. Найдите периметр.
2. Стороны 2 дм и 15 см. Найдите периметр в сантиметрах.
3. Периметр 24 см, одна сторона 7 см. Найдите вторую сторону.
4. Квадрат со стороной 6 см. Найдите периметр.
5. Диагональ 13 см, одна сторона 5 см. Найдите периметр.

Ответы: 1) 20 см; 2) 70 см; 3) 5 см; 4) 24 см; 5) вторая сторона √(169 − 25) = 12 см, P = 34 см.

Популярные вопросы о периметре прямоугольника

Почему у квадрата P = 4a? Квадрат — прямоугольник с равными сторонами. Подставьте b = a в основную формулу: 2·(a + a) = 4a.

Можно ли найти периметр по одной стороне? Нет. Нужно второе условие: вторая сторона, площадь, диагональ или радиус описанной окружности. Одной стороне соответствует бесконечно много разных прямоугольников.

Чем периметр отличается от площади? Периметр — длина границы, его измеряют в см и м. Площадь — размер поверхности внутри границы, её измеряют в см² и м². Формулы разные: P = 2·(a + b) и S = a·b.

Если периметры двух прямоугольников равны, равны ли их площади? Нет. У прямоугольников 1 × 9 см и 5 × 5 см одинаковый периметр 20 см, но площади 9 см² и 25 см².

Что делать, если стороны даны в разных единицах? Перевести всё в одну единицу до сложения: 1 м = 100 см, 1 дм = 10 см, 1 см = 10 мм. Складывать метры с сантиметрами напрямую нельзя.

Как проверить, что периметр найден верно? Посчитайте вторым способом: по формуле и сложением всех четырёх сторон подряд. Результаты должны совпасть до цифры.