Длина окружности: формула через радиус и диаметр

Что такое окружность и её длина

Окружность — множество всех точек плоскости, равноудалённых от одной точки, центра. Расстояние от центра до любой точки окружности — радиус r. Отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр, — диаметр d:

d = 2·r

• d — диаметр;
• r — радиус.

Длина окружности C — это длина самой замкнутой линии. В ряде источников её обозначают L, в этой статье везде стоит C. Измерить её можно ниткой. Обмотайте нитку вокруг банки ровно в один виток, распрямите и приложите к линейке. Длина нитки и есть C.

Число π и его связь с длиной окружности

Разделите длину любой окружности на её диаметр — получится одно и то же число: π = C/d. Для монеты и для экватора отношение одинаково, отсюда формула C = π·d. Из неё следует пропорциональность: если увеличить радиус в k раз, длина тоже вырастет в k раз.

Число π иррационально, «ровного» десятичного значения у него нет: π ≈ 3,14159…. В расчётах используют округления:

• π = 3,14 — погрешность ≈ 0,0016, около 0,05 %;
• 22/7 ≈ 3,1429 — погрешность ≈ 0,0013, около 0,04 %.

Около 250 г. до н. э. Архимед оценил π через правильные 96-угольники и получил 3 ¹⁰⁄₇₁ < π < 3 ¹⁄₇, в десятичных дробях 3,1408 < π < 3,1429. На той же идее построено определение: длина окружности — предел периметров вписанных правильных многоугольников при неограниченном росте числа сторон.

Формула длины окружности через радиус

Из C = π·d и d = 2·r получаем:

C = 2π·r

• C — длина окружности;
• r — радиус;
• π ≈ 3,14.

Пример 1. r = 7 см. При π = 3,14: C = 2 · 3,14 · 7 = 43,96 см. Точно: C = 14π ≈ 43,98 см. Разница в две сотых появилась из-за округления π, поэтому в ответе указывайте, с какой точностью считали.

Пример 2. r = 5 см: C = 10π ≈ 31,42 см, при π = 3,14 выйдет 31,4 см.

Обратная задача. Длина известна, нужен радиус:

r = C/(2π)

• r — радиус;
• C — длина окружности.

Если C = 62,8 см и π = 3,14, то r = 62,8 / 6,28 = 10 см.

Практика. Забор вокруг круглой клумбы радиусом r = 3 м: C = 6π ≈ 18,85 м.

Верёвка вокруг Земли

Верёвку, натянутую по экватору, удлинили на 1 м и приподняли равномерно по всей длине. Какой получится зазор? Из C = 2π·r следует Δr = ΔC/(2π) = 1/(2π) ≈ 0,16 м, около 16 см. От радиуса зазор не зависит: для теннисного мяча ответ тот же.

Формула длины окружности через диаметр

C = π·d

• C — длина окружности;
• d — диаметр;
• π ≈ 3,14.

Примеры. d = 10 см → C ≈ 31,4 см при π = 3,14, точно ≈ 31,42 см. d = 1 м → C ≈ 3,14 м.

Обратная задача:

d = C/π

• d — диаметр;
• C — длина окружности.

Если C = 31,4 см и π = 3,14, то d = 31,4 / 3,14 = 10 см.

Практика. Лента на обод колеса d = 60 см: C = 60 · 3,14 = 188,4 см, точно ≈ 188,50 см. Колесо d = 70 см за один оборот проходит 70π ≈ 219,9 см. На 1 км: 100 000 / 219,91 ≈ 454,7, примерно 455 оборотов.

Как найти длину окружности через площадь круга

Из формулы площади S = π·r² выражаем радиус: r = √(S/π). Подставляем в C = 2π·r:

C = 2·√(π·S)

• C — длина окружности;
• S — площадь круга.

Обратная связь: S = C²/(4π).

Например, S = 78,5 см², π = 3,14:

1. r² = 78,5 / 3,14 = 25, откуда r = 5 см;
2. C = 2 · 3,14 · 5 = 31,4 см;
3. проверка по формуле: 2·√(3,14 · 78,5) = 2·√246,49 = 2 · 15,7 = 31,4 см.

На самом деле всё проще: достаточно одной величины — r, d или S.

Длина окружности через вписанные и описанные фигуры

Эти формулировки легко перепутать. «Квадрат вписан в окружность» — окружность проходит через вершины квадрата. «Окружность вписана в квадрат» — она касается его сторон изнутри. Радиусы в этих случаях разные, формулы тоже. Везде a — сторона фигуры.

• Квадрат вписан в окружность: диаметр равен диагонали, d = a·√2, и C = π·a·√2.
• Квадрат описан около окружности: d = a, и C = π·a.
• Правильный треугольник вписан в окружность: R = a/√3, и C = 2π·a/√3.
• Правильный треугольник описан около окружности: r = a/(2√3), и C = π·a/√3.
• Правильный n-угольник (n ≥ 3) вписан в окружность: C = π·a / sin(180°/n); описан около окружности: C = π·a / tg(180°/n).

Например, квадрат со стороной a = 10 см вписан в окружность. При π = 3,14 и √2 ≈ 1,41: C = 3,14 · 10 · 1,41 ≈ 44,27 см; при точных значениях ≈ 44,43 см.

Для кольца из двух концентрических окружностей разность длин зависит только от разности радиусов: C_внеш − C_внутр = 2π·(R − r).

Сводная таблица формул и типичные ошибки

Что известно	Формула	Пример
Радиус r	C = 2π·r	r = 5 см → C ≈ 31,4 см
Диаметр d	C = π·d	d = 10 см → C ≈ 31,4 см
Площадь S	C = 2·√(π·S)	S = 78,5 см² → C = 31,4 см
Длина C, нужен r	r = C/(2π)	C = 62,8 см → r = 10 см
Длина C, нужен d	d = C/π	C = 31,4 см → d = 10 см

В примерах этой таблицы принято π = 3,14.

Частые ошибки:

• подставили диаметр в 2π·r → сначала найдите радиус: r = d/2;
• путают длину с площадью → длина 2π·r измеряется в см, площадь π·r² — в см², сравнивать их нельзя;
• ответ без единиц, например «31,4» → 31,4 см: длину всегда записывают с см, м и т. д.;
• округлили π или корень в середине расчёта → считайте через точное значение и округляйте один раз, в ответе, с указанием точности.

Вопросы и ответы

Чему равна длина окружности? C = 2π·r = π·d: произведению числа π на диаметр или удвоенному произведению π на радиус.

Как найти C, если известна площадь круга? Через радиус r = √(S/π) и затем C = 2π·r либо сразу C = 2·√(π·S).

Какое значение π брать? В школьных задачах — 3,14, если в условии не сказано иное. Ответ через точное π (например, 10π) точнее: 31,42 см против 31,4 см при r = 5 см.

Чем длина окружности отличается от площади круга? Длина — характеристика линии, её измеряют в единицах длины (см). Площадь — характеристика круга, её измеряют в квадратных единицах (см²). Формулы тоже разные: 2π·r и π·r².

Как найти радиус, если известна длина? По обратной формуле r = C/(2π). Например, C = 62,8 см и π = 3,14 дают r = 10 см.

Как посчитать длину дуги, а не всей окружности? Если дуга опирается на центральный угол α в градусах: l = π·r·α/180°; в радианах: l = r·α. Для r = 6 см и α = 60°: l = 2π ≈ 6,28 см.