Теорема Пифагора: формула, доказательство и примеры

Теорема Пифагора: формулировка и формула

Формулировка из школьного учебника: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

c² = a² + b²

• a, b — катеты (в см, м или других единицах, но одинаковых для всех сторон);
• c — гипотенуза, самая длинная сторона, лежит против угла 90°.

У теоремы есть геометрическая форма, и именно так её сформулировал Евклид: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Это видно на клетчатой бумаге. Начертите треугольник со сторонами 3, 4 и 5 клеток и достройте квадраты на сторонах: на катетах получится 9 и 16 клеток, на гипотенузе — 25. 9 + 16 = 25 клеток.

Как найти гипотенузу и катет по теореме Пифагора

Из одной формулы получаются два рабочих выражения. Какое брать, зависит от того, что вам известно.

Формула гипотенузы

c = √(a² + b²)

• a, b — известные катеты;
• c — искомая гипотенуза.

Квадраты катетов складывают и из суммы извлекают корень.

Формула катета

a = √(c² − b²) или b = √(c² − a²)

• c — гипотенуза;
• a, b — катеты: один известен, другой ищем.

Из квадрата гипотенузы вычитают квадрат известного катета. При поиске катета квадраты вычитают, а не складывают — это типичная ошибка.

Алгоритм

1. Найдите прямой угол: сторона против него — гипотенуза.
2. Возведите известные стороны в квадрат.
3. Для гипотенузы сложите квадраты. Для катета вычтите квадрат известного катета из квадрата гипотенузы.
4. Извлеките квадратный корень.
5. Проверьте: гипотенуза должна получиться больше каждого катета.
6. Запишите ответ с единицами измерения.

Корень не обязан быть целым. Если оба катета равны 1 см, то c = √(1² + 1²) = √2 ≈ 1,414 см (с точностью до тысячных). Иррациональный ответ оставляйте в виде корня, если в задаче не сказано округлить.

Частые ошибки

Неправильно	Правильно
c = a + b: при катетах 3 и 4 писать c = 7	c = √(3² + 4²) = √25 = 5
c = √(a² − b²) при поиске гипотенузы	Вычитать только при поиске катета
Остановиться на c² = 25	Извлечь корень: c = 5
√(a² + b²) = a + b	Корень из суммы не равен сумме: √(3² + 4²) = 5 ≠ 3 + 4
Применять формулу к любому треугольнику	Только к прямоугольному

Доказательства теоремы Пифагора

Известны сотни доказательств теоремы. В сборнике Э. Лумиса «The Pythagorean Proposition» (второе издание — 1940 г.) их 367, по разным подсчётам — более 400. Ниже шесть основных. Если нужно запомнить одно, начните с метода площадей: в нём достаточно раскрыть скобки.

Через подобие треугольников

Высота h из вершины прямого угла делит гипотенузу на проекции a₁ и b₁ и разбивает треугольник на два треугольника, подобных исходному. Из подобия a² = c·a₁ и b² = c·b₁. Складываем: a² + b² = c·(a₁ + b₁) = c·c = c².

Метод площадей

В квадрат со стороной a + b укладывают четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a и b так, чтобы внутри остался квадрат со стороной c. Площадь большого квадрата считаем двумя способами: (a + b)² = 4·½·a·b + c². Раскрываем скобки: a² + 2ab + b² = 2ab + c², откуда a² + b² = c².

Равнодополняемость

Те же четыре треугольника в том же квадрате со стороной a + b расположим иначе, сдвинув их попарно в углы. Свободными остаются уже два квадрата: со сторонами a и b. Большой квадрат и треугольники те же, поэтому свободные площади в обоих случаях равны: a² + b² = c². Здесь обходятся без алгебры, только перестановкой фигур.

Доказательство Евклида

В «Началах» (книга I, предложение 47) теорема доказана через квадраты на сторонах. Высота из прямого угла, продолженная до противоположной стороны квадрата на гипотенузе, делит этот квадрат на два прямоугольника. Через пары равных треугольников Евклид показывает, что каждый прямоугольник равновелик квадрату на соответствующем катете. За форму чертёж называют «ветряной мельницей».

Доказательство, приписываемое Леонардо да Винчи

К фигуре из треугольника и трёх квадратов достраивают два равных шестиугольника: в один входят квадраты на катетах, в другой — квадрат на гипотенузе. Если из равных шестиугольников вычесть равные треугольники, остаются равные площади: сумма квадратов на катетах и квадрат на гипотенузе.

Координатный и векторный способы: ловушка кругового доказательства

В прямоугольной системе координат расстояние между точками задаётся формулой d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) — это теорема Пифагора для катетов-проекций. В векторной форме: если векторы a и b перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю, и |a + b|² = |a|² + |b|².

Обратная теорема Пифагора

Прямая теорема идёт в одну сторону: есть прямой угол — есть равенство. Обратная идёт назад: если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то угол против этой стороны прямой.

Доказательство. Пусть в треугольнике c² = a² + b². Построим другой треугольник с катетами a, b и прямым углом между ними. По прямой теореме его гипотенуза равна √(a² + b²) = c. Треугольники равны по трём сторонам, поэтому угол против стороны c в исходном треугольнике тоже равен 90°.

Проверим на числах. Стороны 6, 8, 10: наибольшая 10, 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10², треугольник прямоугольный. Стороны 5, 6, 7: наибольшая 7, 5² + 6² = 25 + 36 = 61, а 7² = 49 ≠ 61 — треугольник не прямоугольный. Поскольку 49 < 61, он остроугольный.

Вид треугольника определяют, сравнивая квадрат наибольшей стороны c с суммой квадратов двух других:

Соотношение	Вид треугольника
c² < a² + b²	остроугольный
c² = a² + b²	прямоугольный
c² > a² + b²	тупоугольный

Ловушка: сравнивать нужно именно наибольшую сторону с двумя другими. Если взять для проверки другую сторону, вывод получится ложным. Кроме того, обратная теорема — отдельное утверждение со своим доказательством, а не «та же теорема наоборот».

Пифагоровы тройки

Пифагорова тройка — три натуральных числа, удовлетворяющих равенству a² + b² = c². Если в задаче встретились две стороны из тройки, третью можно назвать без вычислений.

m	n	Тройка	Проверка
2	1	3-4-5	9 + 16 = 25
3	2	5-12-13	25 + 144 = 169
4	1	8-15-17	64 + 225 = 289
4	3	7-24-25	49 + 576 = 625
5	2	20-21-29 (формула даёт 21-20-29)	400 + 441 = 841
5	4	9-40-41	81 + 1600 = 1681

Все примитивные тройки порождает формула Евклида:

a = m² − n², b = 2·m·n, c = m² + n²

• m, n — натуральные числа, m > n;
• m и n взаимно простые и разной чётности.

Например, m = 2, n = 1 дают 3-4-5, а m = 4, n = 3 — тройку 7-24-25.

Если умножить тройку на натуральное число, равенство сохранится. Так, 6-8-10 — удвоенная 3-4-5: 36 + 64 = 100. Такие тройки называют кратными, а у примитивных общего делителя нет.

Обобщения теоремы Пифагора

Теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов:

c² = a² + b² − 2ab·cos γ

• a, b, c — стороны треугольника;
• γ — угол между сторонами a и b.

При γ = 90° cos γ = 0, последнее слагаемое исчезает, и остаётся c² = a² + b².

В пространстве добавляется третье слагаемое: диагональ прямоугольного параллелепипеда с рёбрами a, b, c находят из d² = a² + b² + c². Для куба с ребром a отсюда d = a√3. В n-мерном евклидовом пространстве та же идея задаёт расстояние между точками: d = √((x₁ − y₁)² + … + (xₙ − yₙ)²).

В неевклидовых геометриях классическая теорема Пифагора не выполняется. Для прямоугольного треугольника на единичной сфере (стороны в радианах) справедливо cos c = cos a·cos b, на плоскости Лобачевского при кривизне −1 — ch c = ch a·ch b.

Есть обобщение по показателю степени. Уравнение aⁿ + bⁿ = cⁿ при n > 2 не имеет решений в натуральных числах — это Великая теорема Ферма. Её доказательство Э. Уайлс завершил в 1994 г., опубликовано оно в 1995 г.

Примеры и задачи с решениями

Попробуйте сначала решить каждую задачу самостоятельно, потом сверьтесь с решением. Первые две — прямое применение формул, в остальных сначала нужно увидеть прямоугольный треугольник.

Задача 1. Катеты 6 см и 8 см. Найти гипотенузу. c = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 см.

Задача 2. Гипотенуза 13 см, катет 5 см. Найти второй катет. a = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 см.

Задача 3. Стороны прямоугольника 9 см и 12 см. Найти диагональ. Диагональ — гипотенуза треугольника, катеты которого — стороны прямоугольника: d = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15 см.

Задача 4. Равнобедренный треугольник со сторонами 10 см, 10 см и основанием 12 см. Найти высоту к основанию. Высота делит основание пополам, по 6 см. В треугольнике с гипотенузой 10 см высота — катет: h = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8 см.

Задача 5. Найти расстояние между точками A(1; 2) и B(4; 6). Разности координат: 4 − 1 = 3 и 6 − 2 = 4. Тогда AB = √(3² + 4²) = √25 = 5. Снова тройка 3-4-5.

Задача 6. Найти диагональ куба с ребром a. Диагональ грани: √(a² + a²) = a√2. Вместе с ребром она образует прямоугольный треугольник, гипотенуза которого — диагональ куба: d = √(2a² + a²) = a√3.

История и применение теоремы Пифагора в жизни

Соотношение сторон прямоугольного треугольника знали задолго до Пифагора. Об этом говорит вавилонская глиняная табличка Plimpton 322 (около 1800 г. до н. э.): числа на ней связаны с пифагоровыми тройками. Версия о том, что египетские «натягиватели верёвок» размечали прямые углы треугольником 3-4-5, принадлежит историку М. Кантору и остаётся гипотезой, а не доказанным фактом. В Китае соотношение описано в трактате «Чжоу би суань цзин».

Пифагор родился около 570 г. до н. э. на острове Самос. Прямых свидетельств, что доказательство теоремы принадлежит самому Пифагору, нет: авторство закрепила традиция. Рассказ о гекатомбе — ста быках, будто бы принесённых в жертву в честь открытия, — предание, известное от Диогена Лаэртского. У Евклида в «Началах» (около 300 г. до н. э.) теорема сформулирована и доказана в книге I, предложении 47.

Теперь о применении — три ситуации, где формула работает напрямую.

Разметка прямого угла на стройке. На верёвке отмечают отрезки 3, 4 и 5 м (или 6, 8 и 10 м) и натягивают её треугольником. По обратной теореме угол между короткими сторонами равен 90°. Так проверяют углы фундамента и каркаса без транспортира.

Диагональ экрана. Экран с соотношением сторон 16:9 при ширине 16 условных единиц и высоте 9 имеет диагональ √(16² + 9²) = √(256 + 81) = √337 ≈ 18,36 единицы (с точностью до сотых). По диагонали в дюймах и соотношению сторон так же находят ширину и высоту.

Лестница у стены. Лестница длиной 5 м стоит нижним концом в 3 м от стены. До какой высоты она достанет? h = √(5² − 3²) = √(25 − 9) = √16 = 4 м.

На самом деле всё проще: любая задача вида «наклонная, горизонталь, вертикаль» сводится к одному прямоугольному треугольнику. Меняются только названия сторон.

Часто задаваемые вопросы

Работает ли теорема Пифагора для тупоугольного треугольника? Нет. Равенство a² + b² = c² выполняется только при прямом угле. В тупоугольном треугольнике квадрат наибольшей стороны больше суммы квадратов двух других, в остроугольном — меньше.

Можно ли по теореме Пифагора найти угол? Теорема связывает только стороны. Углы находят через тригонометрию: например, tg α = a / b, где a — противолежащий катет. Об углах теорема говорит одно: по обратной теореме можно проверить, равен ли угол 90°.

Почему гипотенуза всегда длиннее катета? Из формулы c² = a² + b²: раз b² > 0, то c² > a², и c > a. Для второго катета рассуждение то же. Если в ответе «гипотенуза» получилась короче катета, перепутаны стороны.

Сколько существует доказательств теоремы? Сотни. В сборнике Лумиса (второе издание, 1940 г.) собрано 367 доказательств, по разным подсчётам — более 400. Для школы достаточно двух: через площади и через подобие.

Почему теорема носит имя Пифагора, если её знали раньше? В Вавилоне и Китае соотношение использовали как вычислительный факт. Традиция связывает с именем Пифагора и его школы переход от наблюдения к доказанному утверждению. Прямых свидетельств этому нет, но название устоялось.

Обязательно ли стороны должны быть целыми? Нет. Целые стороны — частный случай (пифагоровы тройки). Если корень не извлекается нацело, ответ иррациональный: при катетах 1 см и 1 см гипотенуза равна √2 ≈ 1,414 см.