Объём цилиндра: формула и примеры

Объём цилиндра нужен и в школьной задаче, и когда вы прикидываете, сколько литров войдёт в бочку. Зубрить формулу не требуется: достаточно понимать, что это площадь основания × высота. Ниже — вывод формулы, перевод в литры и примеры, пересчитанные до цифры, включая трубу и горизонтальную цистерну.

Что такое цилиндр и его основные элементы

Прямой круговой цилиндр — тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Другое определение: тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями.

Элементы цилиндра:

• основания — два равных круга;
• r — радиус основания;
• d = 2r — диаметр;
• h — высота, расстояние между плоскостями оснований;
• образующая — у прямого цилиндра равна высоте;
• ось — прямая, соединяющая центры оснований;
• осевое сечение — прямоугольник со сторонами 2r и h.

Например, у цилиндра с r = 3 см и h = 5 см осевое сечение — прямоугольник 6 × 5 см.

Объём — количество пространства внутри тела. Его измеряют в кубических единицах: см³, дм³, м³.

Формула объёма цилиндра

V = π·r²·h

• V — объём;
• r — радиус основания;
• h — высота;
• π ≈ 3,14159.

Откуда она берётся? Площадь круга S = π·r², отсюда V = S·h — та же формула, что для объёма призмы. Цилиндр не призма, но его можно представить как предел призм: чем больше сторон у правильного многоугольника в основании, тем ближе призма к цилиндру. Принцип Кавальери говорит о том же: если у двух тел одной высоты сечения на каждом уровне имеют равные площади, объёмы этих тел равны. Наглядная модель — стопка одинаковых монет: площадь одной монеты × высота стопки.

Если в условии дан диаметр, радиус вычислять не обязательно:

V = π·d²·h/4

• d — диаметр основания;
• h — высота.

В школьных задачах часто берут π = 3,14, и это оговаривают в условии. Погрешность такой замены около 0,05 %: например, 90π ≈ 282,74 см³, а при π = 3,14 получается 282,6 см³. Если задача не требует числа, ответ оставляют через π: V = 90π см³ — это точное значение.

На самом деле всё проще: площадь круга × высота.

Объём цилиндра через площадь основания

Если площадь основания уже известна, формула сокращается до V = S·h.

• S — площадь основания;
• h — высота.

Пример: S = 20 см², h = 8 см → V = 20 · 8 = 160 см³.

Объём цилиндра в литрах, м³ и других единицах

Объём получается в кубических единицах той длины, в которой заданы размеры: сантиметры дают см³, метры — м³. Перевод:

Единица	Эквивалент
1 м³	1000 л
1 дм³	1 л
1 л	1000 см³
1 см³	1 мл
1 мм³	0,000001 л

Правил два. Первое: все размеры переводят в одну единицу до расчёта, умножать 0,6 м на 90 см нельзя. Миллиметры тоже переводят заранее. Второе: размеры в дециметрах сразу дают литры, переводить ответ не нужно.

Проверим на бочке с r = 0,3 м и h = 0,9 м: V = π · 0,3² · 0,9 = 0,081π ≈ 0,2545 м³ ≈ 254,47 л. До десятых это 254,5 л, до целых — 254 л.

Тот же расчёт в дециметрах: r = 3 дм, h = 9 дм → V = π · 9 · 9 = 81π ≈ 254,5 дм³. Это те же литры, и переводить ничего не пришлось.

Вместимость тары считайте по внутренним размерам: по наружным объём выходит завышенным. Выпуклое дно и перегородки тоже меняют фактическую вместимость.

Примеры расчёта объёма цилиндра

Пример 1: по радиусу и высоте

Дано: r = 5 см, h = 10 см. Формула: V = π·r²·h. Подстановка: V = π · 5² · 10 = 250π. Ответ: V ≈ 785,4 см³ (до десятых).

Пример 2: по диаметру, ответ в литрах

Дано: d = 20 см, h = 50 см. Радиус r = 10 см. Подстановка: V = π · 10² · 50 = 5000π. Ответ: V ≈ 15 708 см³ ≈ 15,7 л.

Пример 3: ёмкость в метрах

Дано: ёмкость с плоскими днищами, d = 1,2 м, h = 2 м. Радиус r = 0,6 м. Подстановка: V = π · 0,36 · 2 = 0,72π. Ответ: V ≈ 2,262 м³ ≈ 2262 л.

Пример 4: кастрюля

Дано: d = 20 см, h = 18 см. Радиус r = 10 см. Подстановка: V = π · 100 · 18 = 1800π. Ответ: V ≈ 5654,9 см³ ≈ 5,65 л.

Задача для самопроверки: r = 4 см, h = 7 см. Сначала посчитайте сами, затем сверьтесь: V = 112π ≈ 351,9 см³.

Обратные задачи: как найти высоту или радиус по объёму

Из V = π·r²·h выражаются обе величины:

h = V / (π·r²) r = √(V / (π·h))

Пример 1. Бак на 200 л, d = 0,5 м. Переводим: 200 л = 0,2 м³, r = 0,25 м, r² = 0,0625 м². h = 0,2 / (π · 0,0625) ≈ 1,02 м.

Пример 2. Бак на 100 л, d = 40 см. В сантиметрах: 100 л = 100 000 см³, r = 20 см, r² = 400 см². h = 100 000 / (400π) ≈ 79,6 см.

Объём зависит от радиуса квадратично. Диаметр больше на 10 % даёт прирост объёма примерно на 21 %, потому что 1,1² = 1,21. Удвоили радиус — объём вырос в 4 раза. Удвоили высоту — только в 2.

Полый цилиндр и горизонтальная цистерна: особые случаи

Объём и масса трубы

Объём стенки трубы — разность объёмов двух цилиндров:

V = π·h·(R² − r²)

• R — внешний радиус;
• r — внутренний радиус;
• h — длина трубы.

На производстве объём записывают через наружный диаметр и толщину стенки:

V = π·h·t·(D − t)

• D — наружный диаметр;
• t — толщина стенки.

Массу находят по плотности: m = ρ·V, для стали ρ ≈ 7850 кг/м³.

Пример: R = 5 см, r = 4 см, длина 100 см. V = π · 100 · (25 − 16) = 900π ≈ 2827,4 см³ = 0,0028274 м³. Масса стальной стенки: m ≈ 7850 · 0,0028274 ≈ 22,2 кг.

Формулу можно сверить с сортаментом. Стальная труба 57 × 3,5 мм даёт π · 0,0035 · 0,0535 · 7850 ≈ 4,618 кг/м, табличное значение — 4,62 кг/м. Совпадение до второго знака.

Горизонтальная цистерна

Когда цилиндр лежит на боку, объём жидкости зависит от уровня нелинейно. Площадь кругового сегмента при уровне h:

S = r²·arccos((r − h)/r) − (r − h)·√(2rh − h²)

V = S·L

• r — радиус цистерны;
• L — длина цистерны;
• h — уровень жидкости;
• арккосинус берётся в радианах.

Например, цистерна с r = 1 м и L = 5 м (полный объём 5π ≈ 15,708 м³):

Уровень h	S сегмента, м²	V, м³	Доля объёма
0,2 м	≈ 0,1635	≈ 0,818	≈ 5,2 %
0,5 м	≈ 0,6142	≈ 3,071	≈ 19,6 %
1 м	π/2 ≈ 1,5708	≈ 7,854	50 %
1,5 м	≈ 2,5274	≈ 12,637	≈ 80,4 %

Нижние 10 % диаметра вмещают лишь около 5 % объёма. Ровно 50 % получается только при уровне в половину диаметра.

Площадь поверхности цилиндра и развёртка

Объём и площадь поверхности — разные величины с разными единицами: см³ и см².

S_бок = 2π·r·h — боковая поверхность; S = 2π·r·(r + h) — полная поверхность: боковая плюс два основания общей площадью 2π·r².

Развёртка боковой поверхности — прямоугольник со сторонами 2πr (длина окружности основания) и h. Осевое сечение — прямоугольник 2r × h площадью 2·r·h. Боковая поверхность больше него ровно в π раз, а не в π/2, как иногда пишут.

Для сравнения: у конуса с теми же r и h объём втрое меньше, V = ⅓·π·r²·h; объём шара V = ⁴⁄₃·π·r³.

Типичные ошибки при расчёте объёма цилиндра

Если вы узнали свою ошибку в левом столбце, в правом — как надо.

Неправильно	Правильно
Подставить диаметр вместо радиуса	r = d/2. Диаметр в формуле завышает объём в 4 раза, потому что (d/2)² = d²/4
Умножать 0,6 м на 90 см	Все размеры — в одной единице до расчёта
Забыть квадрат: π·r·h	π·r²·h, радиус возводится в квадрат
Посчитать 2π·r·(r + h) вместо объёма	Это площадь поверхности (см²), объём — π·r²·h (см³)
Взять π = 3,14 и удивляться расхождению с точным ответом	При π = 3,14 ответ чуть меньше точного (282,6 против 282,74 см³); в точных ответах оставляйте π
Считать вместимость бака по наружным размерам	Берите внутренние размеры: стенки и дно занимают часть объёма

Частые вопросы

Как найти радиус, если известны объём и высота? По формуле r = √(V / (π·h)). Например, V = 785,4 см³, h = 10 см → r = √(785,4 / 31,416) = √25 = 5 см.

Сколько литров в трубе заданной длины? Внутренняя полость — обычный цилиндр: V = π·r²·L, где r — внутренний радиус. Труба с внутренним радиусом 4 см и длиной 100 см вмещает 1600π ≈ 5026,5 см³ ≈ 5,03 л.

Почему литр — это дм³? По определению 1 л = 1 дм³ = 1000 см³. Размеры в дециметрах дают объём сразу в литрах, а результат в см³ достаточно разделить на 1000.

Можно ли считать в миллиметрах? Можно, но результат получится в мм³, а 1 мм³ = 0,000001 л, и числа выходят громоздкие. Удобнее перевести размеры в см или дм до подстановки.

Чем радиус отличается от диаметра? Диаметр — расстояние от края до края через центр, радиус — от центра до края: d = 2r. В формуле объёма стоит радиус, поэтому измеренный диаметр сначала делят на 2.

Почему объём так сильно зависит от диаметра? Радиус входит в формулу в квадрате. Плюс 10 % к диаметру — это примерно плюс 21 % к объёму, а удвоение диаметра увеличивает объём в 4 раза.

Если запомнить одно, пусть это будет «площадь круга × высота». Перед подстановкой проверьте, что у вас радиус, а не диаметр, и что все размеры в одной единице: эти две проверки помогают избежать большинства типичных ошибок.