Дискриминант: формула и решение квадратного уравнения

Что такое квадратное уравнение

Прежде чем считать дискриминант, выпишите коэффициенты. Ошибка на этом шаге испортит весь ответ, даже если формулу вы помните верно.

Квадратным называют уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0.

• a — старший (первый) коэффициент;
• b — второй коэффициент;
• c — свободный член.

Например, в уравнении 3x² + 4x − 8 = 0 коэффициенты такие: a = 3, b = 4, c = −8. Знак берите вместе с числом: минус перед свободным членом означает, что c отрицательный.

Вид	Условие	Пример
Полное	b ≠ 0 и c ≠ 0	2x² − 3x + 1 = 0
Неполное	c = 0, b ≠ 0	3x² − 6x = 0
Неполное	b = 0, c ≠ 0	4x² − 9 = 0
Неполное	b = 0 и c = 0	3x² = 0
Приведённое	a = 1	x² − 5x + 6 = 0

Что такое дискриминант: определение и формула

Дискриминантом квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 называют выражение

D = b² − 4ac

• b — второй коэффициент;
• a — старший коэффициент;
• c — свободный член.

Слово происходит от латинского discriminare — «различать». Дискриминант различает уравнения по числу корней ещё до того, как эти корни найдены.

Допустим, дано уравнение 3x² − 5x + 2 = 0. Здесь a = 3, b = −5, c = 2, и D = (−5)² − 4·3·2 = 25 − 24 = 1. Корни этого уравнения 1 и ⅔, мы к нему ещё вернёмся.

Если b или c отрицательные, подставляйте их в формулу в скобках. Запись D = (−5)² − 4·3·2 защищает от двух ловушек: квадрат отрицательного числа положителен, (−5)² = 25, а произведение −4ac при отрицательном c становится положительным. Для 2x² + 3x − 2 = 0 получаем −4·2·(−2) = +16 и D = 9 + 16 = 25.

Как знак дискриминанта влияет на количество корней

Чтобы узнать число корней, хватит знака D:

Знак D	Число корней	Пример	Вычисление
D > 0	два различных	2x² + 3x − 2 = 0	D = 9 + 16 = 25, корни 0,5 и −2
D = 0	один (два совпадающих)	4x² − 4x + 1 = 0	D = 16 − 16 = 0, x = 4/8 = 0,5
D < 0	действительных корней нет	x² + 2x + 5 = 0	D = 4 − 20 = −16

При D < 0 у уравнения есть комплексные корни (для x² + 2x + 5 = 0 это x = −1 ± 2i), но эта тема за пределами 8 класса. В ответе пишите «действительных корней нет».

Формула корней квадратного уравнения через дискриминант

Если D ≥ 0, корни находят по формуле:

x₁,₂ = (−b ± √D) / (2a)

• x₁ — корень со знаком «+» перед √D;
• x₂ — корень со знаком «−»;
• D — дискриминант, D = b² − 4ac.

При D = 0 слагаемое √D равно нулю, и формула даёт одно значение x = −b / (2a).

Формулу выводят выделением полного квадрата:

1. Делим уравнение на a и переносим свободный член вправо: x² + (b/a)·x = −c/a.
2. Прибавляем (b/(2a))² к обеим частям.
3. Слева сворачивается квадрат: (x + b/(2a))² = (b² − 4ac) / (4a²).
4. Извлекаем корень и выражаем x.

Третья строка объясняет смысл дискриминанта. Знаменатель 4a² при a ≠ 0 положителен, и знак правой части определяет числитель b² − 4ac. Если числитель отрицательный, квадрат слева не может ему равняться — действительных корней нет.

Главная ловушка формулы: на 2a делится весь числитель −b ± √D, а не один корень из дискриминанта. Записывайте дробь целиком, с длинной чертой в тетради.

Алгоритм решения квадратного уравнения через дискриминант

Порядок действий одинаков для любого квадратного уравнения; неполные уравнения, впрочем, часто быстрее решить напрямую (об этом ниже):

1. Приведите уравнение к виду ax² + bx + c = 0: перенесите все слагаемые влево.
2. Выпишите a, b, c со знаками.
3. Вычислите D = b² − 4ac.
4. Определите число корней по знаку D.
5. Найдите корни по формуле x₁,₂ = (−b ± √D) / (2a).
6. Проверьте ответ подстановкой или по теореме Виета.

Пример 1: x² − 5x + 6 = 0. Коэффициенты: a = 1, b = −5, c = 6. D = 25 − 24 = 1 > 0, корней два. x₁,₂ = (5 ± 1)/2, откуда x₁ = 3, x₂ = 2. Проверка по Виету: сумма 3 + 2 = 5 = −b, произведение 3·2 = 6 = c. Сходится.

Пример 2: 2x² + 3x − 2 = 0. Здесь a = 2, b = 3, c = −2. D = 9 − 4·2·(−2) = 9 + 16 = 25, √D = 5. Корни: x₁,₂ = (−3 ± 5)/4, x₁ = 0,5, x₂ = −2. Проверка: сумма 0,5 + (−2) = −1,5 = −3/2 = −b/a; произведение 0,5·(−2) = −1 = −2/2 = c/a.

Пример 3: x² − 6x + 9 = 0. D = 36 − 36 = 0, корень один: x = 6/2 = 3. Через D₁ то же: k = −3, D₁ = 9 − 9 = 0. Подстановка: 9 − 18 + 9 = 0, верно.

Пример 4: x² + x + 1 = 0. D = 1 − 4 = −3 < 0, действительных корней нет. Это и есть ответ.

Частые ошибки

• (−6)² = −36 → правильно (−6)² = 36: квадрат любого числа неотрицателен.
• x = −b ± √D/(2a), на 2a делят только корень → делить нужно весь числитель: x = (−b ± √D)/(2a).
• В −4ac теряют знак c: для c = −2 пишут −4·2·2 → правильно −4·2·(−2) = +16.
• Уравнение x² = 5x − 6 решают без переноса слагаемых → сначала приведите его к виду x² − 5x + 6 = 0, потом выписывайте коэффициенты.

Если a < 0, умножьте обе части уравнения на −1. Корни не изменятся, а с положительным старшим коэффициентом считать проще.

Дискриминант при чётном коэффициенте b (D/4 или D₁)

Когда второй коэффициент чётный, b = 2k, вычисления можно сократить через четверть дискриминанта:

D₁ = k² − ac

• k — половина второго коэффициента, b = 2k;
• корни: x = (−k ± √D₁) / a.

С полным дискриминантом он связан так: D = 4·D₁, отсюда обозначение D/4 в учебниках. Знак у D₁ тот же, что у D, и выводы о числе корней не меняются.

Например, для x² − 14x + 40 = 0: k = −7, D₁ = 49 − 40 = 9, √D₁ = 3. Корни: x = 7 ± 3, x₁ = 10, x₂ = 4. Через полный дискриминант ответ тот же, но числа крупнее: D = 196 − 160 = 36.

С большими коэффициентами выручает разность квадратов. Для x² − 53x + 196 = 0: D = 53² − 4·196 = 53² − 28² = (53 − 28)(53 + 28) = 25·81 = 2025, √D = 45. Корни (53 ± 45)/2 равны 49 и 4. Проверка: 49 + 4 = 53, 49·4 = 196.

Когда можно обойтись без дискриминанта

Дискриминантом решается любое квадратное уравнение, но иногда путь короче. Прежде чем считать b² − 4ac, проверьте три ситуации.

Первая: уравнение неполное. Если c = 0, вынесите x за скобку: x(ax + b) = 0, корни 0 и −b/a. Если b = 0, выразите x² = −c/a: при −c/a > 0 корни x = ±√(−c/a), при −c/a < 0 действительных корней нет.

Вторая: подходит теорема Виета. Для корней уравнения ax² + bx + c = 0 выполняется x₁ + x₂ = −b/a и x₁·x₂ = c/a. В приведённом уравнении (a = 1) сумма корней равна −b, произведение равно c. Для x² − 5x + 6 = 0 подбираем два числа с суммой 5 и произведением 6 — это 3 и 2. Виетом удобно и решать, и проверять корни, найденные через дискриминант.

Третья: помогают свойства коэффициентов. Если a + b + c = 0, то x₁ = 1, x₂ = c/a. В уравнении 3x² − 5x + 2 = 0 сумма 3 − 5 + 2 = 0, и корни 1 и ⅔ видны без вычислений. Если a − b + c = 0, то x₁ = −1, x₂ = −c/a.

И ещё один признак. Когда a и c разных знаков, слагаемое −4ac положительно, и D > 0. У такого уравнения два различных корня, знак дискриминанта можно не проверять.

Геометрический смысл дискриминанта

График функции y = ax² + bx + c — парабола, а корни уравнения совпадают с абсциссами точек её пересечения с осью Ox. Три случая по знаку D видны на графике:

• D > 0: парабола пересекает ось Ox в двух точках;
• D = 0: парабола касается оси Ox в одной точке;
• D < 0: общих точек с осью Ox нет.

Дискриминант связан и с вершиной параболы. Её координаты: x₀ = −b/(2a), y₀ = −D/(4a). При D = 0 получаем y₀ = 0: вершина лежит на оси Ox, и парабола касается оси именно в ней. Сравните с формулой корней: при D = 0 она даёт x = −b/(2a), то есть x₀.

Величина D задаёт и расстояние между корнями: |x₁ − x₂| = √D / |a|, а от абсциссы вершины до каждого корня — √D / (2|a|). Чем больше дискриминант при фиксированном a, тем дальше друг от друга точки пересечения параболы с осью.

Часто задаваемые вопросы

Может ли D = 0, если c ≠ 0? Да. У уравнения x² − 6x + 9 = 0 свободный член c = 9, а D = 0. Условие D = 0 означает b² = 4ac; при b ≠ 0 это возможно, если c того же знака, что и a.

При D = 0 корень один или два совпадающих? Приняты обе формулировки. В школьном ответе пишут «один корень». Запись «два совпадающих корня» подчёркивает, что многочлен второй степени имеет два корня с учётом кратности, и точнее отражает разложение на множители: x² − 6x + 9 = (x − 3)².

Что делать, если b = 0? Дискриминант применим: D = −4ac. Но быстрее решить напрямую: x² = −c/a, и при −c/a > 0 корни x = ±√(−c/a).

Когда корни получаются «некрасивыми»? Если коэффициенты целые, а D не полный квадрат, корни иррациональные. Оставляйте их в точном виде, например (5 ± √13)/2. Приближение допустимо с указанием точности: (5 + √13)/2 ≈ 4,30 (до сотых).

Зачем нужен D₁, если есть обычный дискриминант? Ради экономии вычислений при чётном b: числа в четыре раза меньше, а результат тот же, потому что D = 4·D₁.

Как разложить трёхчлен на множители через корни? По формуле ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Для 2x² + 3x − 2 с корнями 0,5 и −2 получаем 2(x − 0,5)(x + 2).

На самом деле всё проще, чем кажется: нужны две формулы — D = b² − 4ac и формула корней. Остальное — внимательность к знакам при подстановке. Повторите три случая по знаку D и потренируйтесь на уравнениях с отрицательными b и c: там ошибаются чаще всего.